Đề thi Olympic truyền thống lần thứ 27 môn Toán lớp 10 năm 2023 - THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM

Trích dẫn Đề thi Olympic truyền thống lần thứ 27 môn Toán lớp 10 năm 2023 - THPT Chuyên Lê Hồng Phong - TP HCM

Câu 1. (4 điểm) Cho các số thực x, y,zz thỏa mãn $x(x+y)=y(y+z)=z(z+x)\ne0.$ Chứng minh $a.\frac{x^2}y+\frac{y^2}z+\frac{z^2}x=x+y+z.$ $b.4(\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy})-(\frac{x^3}{y^3}+\frac{y^3}{z^3}+\frac{z^3}{x^3})=9.$ Câu 2. (3 điểm) Gọi S là tập hợp các số nguyên n $n(n>1)$ sao cho với n số thực bất kỳ thuộc khoảng sao cho với $(-2;2)$ có tổng bằng 0 thì tổng lũy thừa bậc 4 của chúng luôn nhỏ hơn 32. Chứn minh $S=\{2;3\}.$ Câu 3. (4 điểm) a. Tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x;y)=2^x-5^y$ với xx y là 2 số nguyên dương thỏa mãn $2^x\geq5^y.$ b. Tìm tất cả các số nguyên dương NN có đúng 2 ước nguyên tố là 2 và 5, đồng thời $N+4$ là số chính phương. Câu 4. (4 điểm) a. Cho 4 hình vuông đơn vị xếp kề nhau như hình vẽ. Có bao nhiêu cách tô màu 10 đỉnh của các hình vuông đơn vị bởi k màu khác nhau (mỗi đỉnh tô 1 màu) sao cho không có hai đỉnh kề nhau nào cùng màu khi $k=3?k=10?$ (trong hình vẽ có tất cả 13 cặp đỉnh kề nhau) b. Có bao nhiêu cách tô màu 8 đỉnh của hình lập phương bởi 3 màu khác nhau (mỗi đỉnh tô 1 màu) sao cho không có hai đỉnh kề nhau nào cùng màu? (trong hình lập phương có tất cả 12 cặp đỉnh kề nhau) Câu 5. (5 điểm) Cho tam giác nhọn không cân ABC có đường tròn nội tiếp (I) tiếp xúc với các cạnhh BC,CA,AB lần lượt tại D,E,FF a. Gọi H à hình chiếu của D ên FF.CChCn minh HD D p phniáciác $\widehat{BHC}.$ b. Gọi P là giao điểm của B,,CFvvv gaao iiểm ủủa ,,FF..GGi H' làà đểm đối xứg vớớớ H qua L. Chứng minh DH' song song với PL. c. Gọi M là điểm đối xứng với F qua B và N à iim đối xxứ vớ EE quaaC CCChứng minn $\frac{sin\widehat{DNM}}{sin\widehat{DMN}}=\frac{sin\widehat{HDE}}{sin\widehat{HDF}}$ và PL vuông góc với MN.