Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán học - Phú Thọ năm 2019-2020

Trích dẫn Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 chuyên môn Toán học - Phú Thọ năm 2019-2020

Câu 1 (2,0 điểm)a) Cho số thực thỏa mmã   x+\frac{1}{x}=3.   Tính giá trị biểu thức   P=x^{3}+\frac{1}{x^{3}}.b) Giải phương trình   \frac{1}{\sqrt{x}+1}+\frac{1}{\sqrt{x}-1}=1.Câu 2 (2,0 điểm)a) Cho a,b,c ààcáá số thực dương,,chứng minh rằng   \frac{a}{b}+\frac{b}{c}\geq\frac{4a}{a+c}.b) Có 15 bạn học sinh nam và 15 bạn học sinh nữ ngồi quanh một bàn tròn. Chứngminh rằng luôn tồn tại một học sinh mà 2 bạn ngồi cạnh bạn đó đều là nữ.Câu 3 (2,0 điểm) Với mỗi số thực x, kí hiệu   \left[\right.x\left]\right.   là số nguyên lớn nhất không vượt quá x.Ví dụ   \left[\sqrt{2}\right]=1;\left[\ -\frac{3}{2}\right]=-2a) Chứng minh rằng   x-1<\left[\right.x\left]\right.\leq x<\left[\right.x\left]\right.+1=\left[\right.x+1\left]\right.   với mọi   x\in R.b) Có bao nhiêu số nguyên dương   n\leq840   thỏa mãn   \left[\sqrt{n}\right]   là ước của   n?