Bài 1 trang 54 SGK Đại số và Giải tích 11

Có tất cả bao nhiêu số ?

Phương pháp giải:

Sử dụng hoán vị 6 phần tử.

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Mỗi số tự nhiên có \(6\) chữ số khác nhau lập từ 6 chữ số đã cho, tương ứng với một cách sắp xếp thứ tự 6 chữ số đó hay còn gọi là một hoán vị của \(6\) phần tử:

Vậy có \(P_6= 6! = 720\) (số).

Cách 2: Ta sử dung quy tắc nhân

Số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau có dạng \(\overline {abcdef} \), Vì lập từ 6 chữ số cho trước nên \(a, b, c, d, e, f \) \(\in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6} \right\}\)và \(a, b, c, d, e, f \) đôi một khác nhau do 

+) \(a\)  có \(6\) cách.

+) \(b\ne a\) nên có 5 cách chọn ( trừ đi 1 số đã chọn là a)

+) \(c\ne b, a\) nên có 4 cách chọn. (trừ đi 2 số đã chọn là a,b)

+) \(d\ne c,b, a\) nên có 3 cách chọn.(trừ đi 3 số đã chọn là a,b,c)

+) \(e\ne d,c,b, a\) nên có 2 cách chọn. (trừ đi 4 số đã chọn là a,b,c,d)

+) \(f\ne e,d,c,b, a\) nên có 1 cách chọn. (trừ đi 5 số đã chọn là a,b,c,d,e)

Vậy theo quy tắc nhân ta có 6.5.4.3.2.1=720 số 

Có bao nhiêu số chẵn, bao nhiêu số lẻ ?

Phương pháp giải:

Gọi số tự nhiên chẵn cần lập có dạng \(\overline{abcdef}\), với \(a, b, c, d, e, f \) \(\in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6} \right\}\).

+) Số tự nhiên đó là số chẵn khi \(f\) chia hết cho 2.

+) Số tự nhiên đó là số lẻ khi \(f\) không chia hết cho 2.

Lời giải chi tiết:

Số tự nhiên chẵn cần lập có dạng \(\overline{abcdef}\), với \(a, b, c, d, e, f \) \(\in \left\{ {1,{\rm{ }}2,{\rm{ }}3,{\rm{ }}4,{\rm{ }}5,{\rm{ }}6} \right\}\), có kể đến thứ tự, \(f\) chia hết cho \(2\).

+) \(f\) chia hết cho \(2\) nên \(f\in \{2;4;6\}\) có \(3\) cách.

+) \(e\ne f\) nên có 5 cách chọn.

+) \(d\ne e, f\) nên có 4 cách chọn.

+) \(c\ne f, e, d\) nên có 3 cách chọn.

+) \(b\ne f, e, d, c\) nên có 2 cách chọn.

+) \(a\ne f,e,d,c,b\) nên có 1 cách chọn.

Vậy theo quy tắc nhân có 3.5.4.3.2.1=360 số tự nhiên chẵn.

Do đó có: 720-360=360 số tự nhiên lẻ.

Cách khác:

+) Chọn \(f\) có 3 cách chọn

+) 5 chữ số còn lại có 5!=120 cách sắp xếp thứ tự.

Theo quy tắc nhân có \(3 . 5! = 360\) (số).

Có bao nhiêu số bé hơn \(432 000 \)?

Phương pháp giải:

Số có \(6\) chữ số mà nhỏ hơn \(432 000\) thì chữ số hàng trăm nghìn phải nhỏ hơn hoặc bằng \(4\).

Ta lần lượt xét các trường hợp: \(a = 4\) và \( a<4\)

Lời giải chi tiết:

Gọi số tự nhiên cần lập có dạng \(\overline {abcdef} \), \(a,b,c,d,e,f \in \left\{ {1;2;...;6} \right\}\).

Xét các trường hợp:

- TH1: \(a = 4,b = 3\).

+) Nếu \(c =2\) thì \(d, e, f\) là các số còn lại \(1, 5,6\). khi đó số lập được sẽ lớn hơn \(432 000\)

+) \(c < 2\) nên \(c = 1\), có \(1\) cách chọn \(c\).

Số cách chọn \(d,e,f\) là số hoán vị của \(3\) chữ số còn lại nên có \(3!\) cách.

Do đó có \(1.1.1.3! = 6\) số.

- TH2: \(a = 4,b < 3\).

+) Có \(1\) cách chọn \(a\).

+) \(b < 3\) nên \(b \in \left\{ {1;2} \right\}\), có \(2\) cách chọn \(b\).

Số cách chọn \(c,d,e,f\) là số hoán vị của \(4\) chữ số nên có \(4!\) cách.

Do đó có \(2.4! = 48\) số.

- TH3: \(a < 4\).

Vì \(a < 4\) nên \(a \in \left\{ {1;2;3} \right\}\) và có \(3\) cách chọn \(a\).

Số cách chọn các chữ số \(b,c,d,e,f\) là số hoán vị của \(5\) chữ số còn lại nên có \(5!\) cách.

Do đó có \(3.5! = 360\) số.

Vậy có \(6 + 48 + 360 = 414\) số.