Tính các giới hạn sau
LG a
\(\lim {{(n + 1){{(3 - 2n)}^2}} \over {{n^3} + 1}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \(n^3\).
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \lim {{(n + 1){{(3 - 2n)}^2}} \over {{n^3} + 1}} = \lim {{(1 + {1 \over n}){{({3 \over n} - 2)}^2}} \over {1 + {1 \over {{n^3}}}}} \cr
& = {{(1 + 0){{(0 - 2)}^2}} \over {1 + 0}} = 4 \cr} \)
LG b
\(\lim ({1 \over {{n^2} + 1}} + {2 \over {{n^2} + 1}} + {3 \over {{n^2} + 1}} + ... + {{n - 1} \over {{n^2} + 1}})\)
Phương pháp giải:
Cộng các phân số cùng mẫu số, sử dụng kết quả: \(1 + 2 + ... + n - 1 = \dfrac{{\left( {n - 1} \right)n}}{2}\). Sau đó chia cả tử và mẫu cho \(n^2\).
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\frac{1}{{{n^2} + 1}} + \frac{2}{{{n^2} + 1}} + \frac{3}{{{n^2} + 1}} + ... + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}}\\
= \frac{{1 + 2 + ... + n - 1}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{\frac{{n(n - 1)}}{2}}}{{{n^2} + 1}} = \frac{{{n^2} - n}}{{2({n^2} + 1)}}\\
= \lim (\frac{1}{{{n^2} + 1}} + \frac{2}{{{n^2} + 1}} + \frac{3}{{{n^2} + 1}} + ... + \frac{{n - 1}}{{{n^2} + 1}})\\
= \lim \frac{{{n^2} - n}}{{2({n^2} + 1)}} = \lim \frac{{\frac{{{n^2} - n}}{{{n^2}}}}}{{2.\frac{{{n^2} + 1}}{{{n^2}}}}} = \lim \frac{{1 - \frac{1}{n}}}{{2(1 + \frac{1}{{{n^2}}})}} = \frac{1}{2}
\end{array}\)
LG c
\(\lim {{\sqrt {4n^2 + 1} + n} \over {2n + 1}}\)
Phương pháp giải:
Chia cả tử và mẫu cho \(n^2\), lưu ý căn bậc hai.
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \lim {{\sqrt {4n^2 + 1} + n} \over {2n + 1}} \cr
& = \lim {{n.\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + n} \over {2n + 1}} \cr
& = \lim {{n.(\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + 1)} \over {n(2 + {1 \over n})}} \cr
& = \lim {{\sqrt {4 + {1 \over {{n^2}}}} + 1} \over {2 + {1 \over n}}} \cr
& = {{2 + 1} \over 2} = {3 \over 2} \cr} \)
LG d
\(\lim \sqrt n (\sqrt {n - 1} - \sqrt n )\)
Phương pháp giải:
Nhân chia biểu thức dưới dấu \(\lim \) với biểu thức liên hợp của \(\sqrt {n - 1} - \sqrt n \), sau đó chia cả tử và mẫu của phân thức mới cho \(\sqrt{n}\).
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& \lim \sqrt n (\sqrt {n - 1} - \sqrt n ) \cr
& = \lim {{\sqrt n (\sqrt {n - 1} - \sqrt n )(\sqrt {n - 1} + \sqrt n )} \over {\sqrt {n - 1} + \sqrt n }} \cr
& = \lim {{\sqrt n \left[ {(n - 1) - n} \right]} \over {\sqrt {n - 1} + \sqrt n }} \cr
& = \lim {{ - \sqrt n } \over {\sqrt n \left[ {\sqrt {1 - {1 \over n}} + 1} \right]}} \cr
& = \lim {{ - 1} \over {\sqrt {1 - {1 \over n}} + 1}} = - {1 \over 2} \cr} \)
Chủ đề 5. Cơ thể là một thể thống nhất và ngành nghề liên quan đến sinh học cơ thể
Chủ đề 4. Chiến tranh bảo vệ Tổ quốc và chiến tranh giành giải phóng dân tộc trong lịch sử Việt Nam (trước Cách mạng tháng Tám năm 1945)
Chương 2. Chủ nghĩa xã hội từ năm 1917 đến nay
Unit 5: Illiteracy - Nạn mù chữ
Chương 1. Trao đổi chất và chuyển hóa năng lượng ở sinh vật
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
Chatbot GPT