Bài 1.29 trang 33 Chuyên đề học tập Toán 11 Kết nối tri thức

1. Nội dung câu hỏi

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0. Viết phương trình của đường tròn (C') là ảnh của đường tròn (C) qua phép đối xứng tâm A(3; – 3).

2. Phương pháp giải 

3. Lời giải chi tiết

Ta có (C): x² + y² – 2x – 4y – 4 = 0 hay x² + y² – 2 . 1 x – 2 . 2 y – 4 = 0.

Suy ra đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = $\sqrt{1^2+2^2-\left(-4\right)}=3$.

Gọi I' và R' lần lượt là tâm và bán kính của đường tròn (C'). Vì (C') là ảnh của (C) qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) nên I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A(3; – 3) và R' = R = 3.

Vì I' là ảnh của I qua phép đối xứng tâm A nên A là trung điểm của II'.

Suy ra $\left\{\begin{array}{c}{x}_{I\text{'}}=2x_A-x_I=2.3-1=5\\ y_{I\text{'}}=2y_A-y_I=2.\left(-3\right)-2=-8\end{array}\right.$ nên I'(5; – 8).

Vậy phương trình đường tròn (C') là

(x – 5)² + [y – (– 8)]² = 3² hay (x – 5)² + (y + 8)² = 9.