Bài 13 trang 142 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B. Một đường thẳng tiếp xúc với đường tròn (O) tại C và tiếp xúc với đường tròn (O’) tại D. Vẽ đường tròn (I) qua ba điểm A, C, D cắt đường thẳng AB tại điểm thứ hai là E. Chứng minh rằng:

a) \(\widehat {CAD} + \widehat {CBD} = {180^o}\)

b) Tứ giác BCED là hình bình hành.

Lời giải chi tiết

a) Ta có \(\widehat {AEC} = \widehat {ADC}\) (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AC của đường tròn \(\left( I \right)\)). Mà \(\widehat {ADC} = \widehat {ABD}\) (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung AD của đường tròn \(\left( {O'} \right)\)).

\( \Rightarrow \widehat {AEC} = \widehat {ABD}\). Mà hai góc này ở vị trí so le song \( \Rightarrow BD\parallel EC\).

Chứng minh hoàn toàn tương tự ta có \(BC\parallel DE\).

Từ đó suy ra tứ giác BCED là hình bình hành (Tứ giác có các cặp cạnh đối song song) \( \Rightarrow \widehat {CBD} = \widehat {CED}\) (1) (hai góc đối của hình bình hành).

Tứ giác ACED nội tiếp đường tròn \(\left( I \right) \Rightarrow \widehat {CAD} + \widehat {CED} = {180^0}\)  (2).

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \widehat {CAD} + \widehat {CBD} = {180^0}\).

b) Tứ giác BCED là hình bình hành (cmt).