Bài 13 trang 233 SBT đại số và giải tích 11

Đề bài

Tìm số hạng thứ nhất a₁ và công bội q của một cấp số nhân (a_n), biết rằng

a₄ - a₂ =\( - 1\frac{{13}}{{32}}\)  và a₆ - a₄ = $-\frac{45}{512}$

Lời giải chi tiết

Ta có hệ phương trình:

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{a_1}{q^3} - {a_1}q =  - \frac{{45}}{{32}}\\{a_1}{q^5} - {a_1}{q^3} =  - \frac{{45}}{{512}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{a_1}q\left( {{q^2} - 1} \right) =  - \frac{{45}}{{32}}\,\,\left( 1 \right)\\{a_1}{q^3}\left( {{q^2} - 1} \right) =  - \frac{{45}}{{512}}\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\end{array}\)

Lấy (2) chia (1) vế với vế ta được:

\(\begin{array}{l}\frac{{{a_1}{q^3}\left( {{q^2} - 1} \right)}}{{{a_1}q\left( {{q^2} - 1} \right)}} =  - \frac{{45}}{{512}}:\left( { - \frac{{45}}{{32}}} \right)\\ \Leftrightarrow {q^2} = \frac{1}{{16}} \Leftrightarrow q =  \pm \frac{1}{4}\end{array}\)

Với \(q = \frac{1}{4}\) thay vào (1) thì \({a_1}.\frac{1}{4}.\left( {\frac{1}{{16}} - 1} \right) =  - \frac{{45}}{{32}} \Leftrightarrow {a_1} = 6\)

Với \(q =  - \frac{1}{4}\) thay vào (1) thì \({a_1}.\left( { - \frac{1}{4}} \right).\left( {\frac{1}{{16}} - 1} \right) =  - \frac{{45}}{{32}}\) \( \Leftrightarrow {a_1} =  - 6\)