Bài 13 trang 74 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho hình thang cân \(ABCD \;(AB // CD)\), \(E\) là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh rằng \(EA = EB, EC = ED.\)

Lời giải chi tiết

Do \(ABCD\) là hình thang cân (giả thiết) nên \(AD = BC, AC = BD\) (tính chất hình thang cân) 

Xét \(\Delta A{\rm{D}}C\) và \(\Delta B{\rm{C}}D\)

+) \(AD = BC\) (chứng minh trên)

+) \(AC = BD\) (chứng minh trên)

+) \(DC\) chung

Suy ra \(∆ADC =  ∆BCD\) (c.c.c)

Suy ra \(\widehat{C_{2}}=\widehat{D_{1}}\) (\(2\) góc tương ứng)

Do đó \(\Delta E{\rm{D}}C\) cân tại \(E\) (dấu hiệu nhận biết tam giác cân)

\( \Rightarrow EC = E{\rm{D}}\) (tính chất tam giác cân)

Lại có:
\(AC = B{\rm{D}}\left( \text{chứng minh trên} \right)\)
\(EC = E{\rm{D}}\left( \text{chứng minh trên} \right)\)
Trừ vế với vế, ta được \( AC - CE= B{\rm{D}} - DE\)
Hay \( E{\rm{A}} = EB\).

Vậy \(EA = EB, EC = ED.\)