Bài 136 trang 97 SBT Toán 8 tập 1

Đề bài

a) Cho hình thoi \(ABCD.\) Kẻ hai đường cao \(AH,\, AK.\) Chứng minh rằng \(AH = AK\)

b) Hình bình hành \(ABCD\) có hai đường cao \(AH ,\, AK\) bằng nhau. Chứng minh rằng \(ABCD\) là hình thoi.

Lời giải chi tiết

a)

Xét hai tam giác vuông \(AHB\) và \(AKD:\)

\(\widehat {AHB} = \widehat {AKD} = {90^0}\)

\(AB = AD\) (gt)

\(\widehat B = \widehat D\) (tính chất hình thoi)

Do đó: \(∆ AHB = ∆ AKD\) (cạnh huyền, góc nhọn)

\(⇒ AH = AK\)

b)

Xét hai tam giác vuông \(AHC\) và \(AKC:\)

\(\widehat {AHC} = \widehat {AKC} = {90^0}\)

\(AH = AK\) (gt)

\(AC\) cạnh huyền chung

Do đó: \(∆ AHC = ∆ AKC\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông)

\( \Rightarrow \widehat {ACH} = \widehat {ACK}\)  hay \(\widehat {ACB} = \widehat {ACD}\)

\(⇒ CA\) là tia phân giác \(\widehat {BCD}\)

Hình bình hành \(ABCD\) có đường chéo \(CA\) là tia phân giác nên là hình thoi.