Bài 15 trang 170 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Kẻ BH vuông góc với AC tại H, kẻ CK vuông góc với AB tại K. Chứng minh rằng :

a) \(\Delta ABH = \Delta ACK.\)

b) \(\Delta AHK\) cân.

c) KH // BC.

Lời giải chi tiết

a) Xét tam giác ABH vuông tại H và tam giác ACK vuông tại K có:

\(\widehat {HAB} = \widehat {KAC}\)   (góc chung)

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

Do đó: \(\Delta ABH = \Delta ACK\)  (cạnh huyền - góc nhọn).

b) Ta có: \(\Delta ABH = \Delta ACK\)  (chứng minh câu a) => AH = AK => tam giác AHK cân tại A.

c) Tam giác ABC cân tại A có: \(\widehat {ABC} + \widehat {ACB} + \widehat {BAC} = {180^0}\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow \widehat {ABC} + \widehat {ABC} + \widehat {BAC} = {180^0}(vi\widehat {ABC} = \widehat {ACB})  \cr  &  \Leftrightarrow 2\widehat {ABC} + \widehat {BAC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {ABC} = {{{{180}^0} - \widehat {BAC}} \over 2} \cr} \)

Tam giác AHK cân tại A có: \(\widehat {AKH} + \widehat {AHK} + \widehat {KAH} = {180^0}.\)

\(\eqalign{  &  \Leftrightarrow \widehat {AKH} + \widehat {AKH} + \widehat {KAH} = {180^0}(vi\widehat {AKH} = \widehat {AHK})  \cr  &  \Leftrightarrow 2\widehat {AKH} + \widehat {KAH} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AKH} = {{{{180}^0} - \widehat {KAH}} \over 2} \cr} \)

Ta có: \(\widehat {ABC} = {{{{180}^0} - \widehat {BAC}} \over 2}\)  và \(\widehat {AKH} = {{{{180}^0} - \widehat {KAH}} \over 2} \Rightarrow \widehat {ABC} = \widehat {AKH.}\)

Mà hai góc này ở vị trí đồng vị nên HK // BC.