Tính các giới hạn
LG a
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{2\cos \frac{{x + a}}{2}\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{2.\frac{{x - a}}{2}}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {\cos \frac{{x + a}}{2}.\frac{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{\frac{{x - a}}{2}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {\cos \frac{{x + a}}{2}} \right).\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \left( {\frac{{\sin \frac{{x - a}}{2}}}{{\frac{{x - a}}{2}}}} \right)\\ = \cos a.1\\ = \cos a\end{array}\)
Cách khác:
Xét hàm số \(y = f\left( x \right) = \sin x\) có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{f\left( x \right) - f\left( a \right)}}{{x - a}}\\ = f'(a)\end{array}\)
Mà \(f'\left( x \right) = \cos x \Rightarrow f'\left( a \right) = \cos a\)
Vậy \(\mathop {\lim }\limits_{x \to a} \frac{{\sin x - \sin a}}{{x - a}} = f'\left( a \right) = \cos a\).
LG b
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \frac{{\pi x}}{2}\)
Lời giải chi tiết:
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \frac{{\pi x}}{2}\)
Đặt \(t = 1 - x\), khi \(x \to 1\) thì \(t \to 0\) ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \left( {1 - x} \right)\tan \frac{{\pi x}}{2}\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left[ {t.\tan \frac{{\pi \left( {1 - t} \right)}}{2}} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left[ {t.\tan \left( {\frac{\pi }{2} - \frac{{\pi t}}{2}} \right)} \right]\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {t.\cot \frac{{\pi t}}{2}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {t.\frac{{\cos \frac{{\pi t}}{2}}}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {\frac{t}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}.\cos \frac{{\pi t}}{2}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {\frac{{\frac{{\pi t}}{2}.\frac{2}{\pi }}}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}.\cos \frac{{\pi t}}{2}} \right)\\ = \mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( {\frac{{\frac{{\pi t}}{2}}}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}.\frac{2}{\pi }.\cos \frac{{\pi t}}{2}} \right)\\ = \frac{2}{\pi }.\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \frac{{\frac{{\pi t}}{2}}}{{\sin \frac{{\pi t}}{2}}}.\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \cos \frac{{\pi t}}{2}\\ = \frac{2}{\pi }.1.1\\ = \frac{2}{\pi }\end{array}\)
LG c
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{3}} \frac{{2{{\sin }^2}x + \sin x - 1}}{{2{{\sin }^2}x - 3\sin x + 1}}\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to \frac{\pi }{3}} \frac{{2{{\sin }^2}x + \sin x - 1}}{{2{{\sin }^2}x - 3\sin x + 1}}\\ = \frac{{2.{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2} - 1}}{{2.{{\left( {\frac{{\sqrt 3 }}{2}} \right)}^2} - 3.\frac{{\sqrt 3 }}{2} + 1}}\\ = \frac{{\sqrt 3 + 1}}{{5 - 3\sqrt 3 }}\end{array}\)
LG d
\(\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan x - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\frac{{\sin x}}{{\cos x}} - \sin x}}{{{{\sin }^3}x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x - \sin x\cos x}}{{{{\sin }^3}x\cos x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sin x\left( {1 - \cos x} \right)}}{{{{\sin }^3}x\cos x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{1 - \cos x}}{{{{\sin }^2}x\cos x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{2{{\sin }^2}\frac{x}{2}}}{{4{{\sin }^2}\frac{x}{2}{{\cos }^2}\frac{x}{2}.\cos x}}\\ = \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{1}{{2{{\cos }^2}\frac{x}{2}.\cos x}}\\ = \frac{1}{{2.{{\cos }^2}0.\cos 0}}\\ = \frac{1}{2}\end{array}\)
Hello!
Chủ đề 1. Dao động
CHƯƠNG III: NHÓM CACBON
Bài giảng ôn luyện kiến thức cuối học kì 2 môn Toán lớp 11
Chủ đề 3. Rèn luyện bản thân
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán Lớp 11
Chatbot GPT