Bài 2 trang 168 SGK Đại số và Giải tích 11

\(\displaystyle y'<0\) với \(y = \displaystyle {{{x^2} + x + 2} \over {x - 1}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có \( y'=\dfrac{(x^{2}+x+2)'.(x-1)-(x^{2}+x+2).(x-1)'}{(x-1)^{2}}\) 

\( = \dfrac{{\left( {2x + 1} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + x + 2} \right).1}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} \)

\(= \dfrac{{2{x^2} + x - 2x - 1 - {x^2} - x - 2}}{{{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)

 \( =\dfrac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}\)

Do đó, \(y'<0\Leftrightarrow  \dfrac{x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}<0\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ne 1\\
{x^2} - 2x - 3 < 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne 1 \hfill \cr 
- 1 < x < 3 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \)\(x∈ (-1;1) ∪ (1;3)\).

\(y'≥0\) với \(y = \dfrac{x^{2}+3}{x+1}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có \( y'=\dfrac{(x^{2}+3)'.(x+1)-(x^{2}+3).(x+1)'}{(x+1)^{2}}\)

\( = \dfrac{{2x\left( {x + 1} \right) - \left( {{x^2} + 3} \right).1}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}} \) \(= \dfrac{{2{x^2} + 2x - {x^2} - 3}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\)

= \( \dfrac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}\).

Do đó, \(y'≥0 \Leftrightarrow   \dfrac{x^{2}+2x-3}{(x+1)^{2}}≥0 \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ne 0\\
{x^2} + 2x - 3 \ge 0
\end{array} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \ne - 1 \hfill \cr 
\left[ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr 
x \le - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \ge 1 \hfill \cr 
x \le - 3 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow x∈ (-∞;-3] ∪ [1;+∞)\).

\(y'>0\) với \(y = \dfrac{2x-1}{x^{2}+x+4}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc đạo hàm của 1 thương và bảng đạo hàm các hàm số cơ bản, tính đạo hàm của các hàm số và giải bất phương trình.

Lời giải chi tiết:

Ta có \( y'=\dfrac{(2x-1)'.(x^{2}+x+4)-(2x-1).(x^{2}+x+4)'}{(x^{2}+x+4)^2}\)

\( = \dfrac{{2\left( {{x^2} + x + 4} \right) - \left( {2x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right)}}{{{{\left( {{x^2} + x + 4} \right)}^2}}}\) \( = \dfrac{{2{x^2} + 2x + 8 - 4{x^2} + 2x - 2x + 1}}{{{{\left( {{x^2} + x + 4} \right)}^2}}}\)

\(=\dfrac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)^2}\).

Do đó, \(y'>0  \Leftrightarrow  \dfrac{-2x^{2}+2x+9}{(x^{2}+x+4)^2} >0\Leftrightarrow  -2x^2+2x +9>0 \)\(\Leftrightarrow    \dfrac{1-\sqrt{19}}{2} < x <  \dfrac{1+\sqrt{19}}{2}\Leftrightarrow   x∈  \left ( \dfrac{1-\sqrt{19}}{2};\dfrac{1+\sqrt{19}}{2} \right )\)

Vì \(x^2+x +4 =\) \( \left ( x+\dfrac{1}{2} \right )^{2}\)+ \( \dfrac{15}{4} >0\), với \(∀ x ∈ \mathbb R\).