Bài 2 trang 179 SGK Đại số và giải tích 11

Tính \(\displaystyle A = {5 \over {6 + 7\sin 2\alpha}}\) , biết rằng \(\tan α = 0,2\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \(\sin 2\alpha = \dfrac{{2t}}{{1 + {t^2}}}\) với \(t = \tan \alpha \) tính \(\sin 2\alpha\), từ đó tính giá trị của biểu thức A.

Lời giải chi tiết:

Tính \(A\)

Đặt \(t= \tan α = 0,2\), ta có: 

\(\eqalign{
& \sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha \cr 
& = {{2\sin \alpha \cos \alpha } \over {{{\sin }^2}\alpha + {{\cos }^2}\alpha }} \cr 
& = {{2\sin \alpha \cos \alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha (1 + {{\tan }^2}\alpha )}} \cr 
& = {{2\sin \alpha } \over {\cos \alpha (1 + ta{n^2}\alpha )}} \cr 
& = {{2\tan \alpha } \over {1 + ta{n^2}\alpha }} = {{2t} \over {1 + {t^2}}} \cr} \)

Với \(t = 0,2\) ta có:

\(\displaystyle A = {5 \over {6 + 7.{{2t} \over {1 + {t^2}}}}} = {5 \over {6 + {{14.0,2} \over {1 + {{(0,2)}^2}}}}} = {{65} \over {113}}\)

Tính đạo hàm của hàm đã cho.

Phương pháp giải:

Sử dụng quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp và các quy tắc tính đạo hàm của hàm lượng giác.

Lời giải chi tiết:

Tính đạo hàm

\(\displaystyle y' = {{-5(6 + 7\sin 2x)'} \over {{{(6 + 7\sin 2x)}^2}}} \)

\( = \dfrac{{ - 5.7.\left( {2x} \right)'\cos 2x}}{{{{\left( {6 + 7\sin 2x} \right)}^2}}}\)

\(\displaystyle = {{-70.\cos 2x} \over {{{(6 + 7\sin 2x)}^2}}}\)

Xác định các khoảng trên đó \(y’\) không dương.

Phương pháp giải:

Giải bất phương trình \(y'\le 0\).

Lời giải chi tiết:

Các khoảng mà trên đó y' không dương.

\(\eqalign{
& \Leftrightarrow y' \le 0,x \in D \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
\cos 2x \ge 0 \hfill \cr 
\sin 2x \ne {{ - 6} \over 7} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x \in \left[ { - {\pi \over 2} + k2\pi ;{\pi \over 2} + k2\pi } \right] \hfill \cr 
\sin 2x \ne {-6 \over 7} \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb Z) \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \in \left[ { - {\pi \over 4} + k\pi ;{\pi \over 4} + k\pi } \right] \hfill \cr 
\sin 2x \ne {-6 \over 7} \hfill \cr} \right. (k \in \mathbb Z) \cr} \)