Bài 2 trang 7 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho tam giác \(ABC\) có \(G\) là trọng tâm. Xác định ảnh của tam giác \(ABC\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\). Xác định điểm \(D\) sao cho phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\) biến \(D\) thành \(A.\)

Lời giải chi tiết

+) Gọi \(B', C'\) lần lượt là ảnh của \(B, C\) qua phép tịnh tiến theo véc tơ \(\overrightarrow{AG}\).

Nhận xét:

\(\begin{array}{l}
{T_{\overrightarrow {AG} }}\left( A \right) = G\\
{T_{\overrightarrow {AG} }}\left( B \right) = B' \Leftrightarrow \overrightarrow {BB'} = \overrightarrow {AG} \\
{T_{\overrightarrow {AG} }}\left( C \right) = C' \Leftrightarrow \overrightarrow {CC'} = \overrightarrow {AG}
\end{array}\)

Từ đó ta có cách dựng:

Dựng điểm \(B', C'\) sao cho \(\overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {AG} \) và \(\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {AG} \)

Khi đó ta được ảnh của tam giác \(ABC\) qua \({T_{\overrightarrow {AG} }}\) là tam giác \(GB'C'\).

+) \({T_{\overrightarrow {AG} }}\left( D \right) = A \Leftrightarrow \overrightarrow {DA}  = \overrightarrow {AG}  \) \(\Leftrightarrow  - \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow {AG}  \Leftrightarrow \overrightarrow {AG}  + \overrightarrow {AD}  = \overrightarrow 0 \)

Do đó \(A\) là trung điểm của \(DG\) thì phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\) biến \(D\) thành \(A\) (hình vẽ).

Cách khác:

Cách trên ta sử dụng cách dựng trực tiếp, dưới đây ta trình bày cách dựng hình bằng cách đoán rồi chứng minh hình có được là hình cần tìm. Các em có thể tham khảo:

- Dựng hình bình hành \(ABB'G\) và \(ACC'G.\)

Khi đó ta có \(\overrightarrow{AG}\) = \(\overrightarrow{BB'}\) = \(\overrightarrow{CC'}\).

Suy ra \(T_{\vec{AG}} (A) = G\), \(T_{\vec{AG}} (B) = B'\), \(T_{\vec{AG}} (C)= C'\).

Do đó ảnh của tam giác \(ABC\) qua phép tịnh tiến theo vectơ \(\overrightarrow{AG}\) là tam giác \(GB'C'.\)

- Trên tia \(GA\) lấy điểm \(D\) sao cho \(A\) là trung điểm của \(GD.\)

Khi đó ta có \(\overrightarrow{DA}\) = \(\overrightarrow{AG}\). Do đó, \(T_{\vec{AG}} (D) = A\)