Bài 25 trang 141 Tài liệu dạy – học Toán 9 tập 2

Đề bài

Một ca nô xuôi dòng 108 km, rồi ngược dòng 63 km, mất 7 giờ. Lần thứ hai, ca nô đó xuôi dòng 81 km rồi ngược dòng 84 km cũng mất 7 giờ. Tính tốc độ dòng nước và tốc độ của ca nô khi dòng nước đứng yên.

Lời giải chi tiết

Gọi tốc độ của ca nô khi dòng nước đứng yên là x (km/h) và tốc độ dòng nước là y (km/h).

Khi đó vận tốc của ca nô khi xuôi dòng là \(x + y\,\,\left( {km/h} \right)\) và tốc độ của ca nô khi ngược dòng là \(x - y\,\,\left( {km/h} \right)\).

Lần thứ nhất:

Thời gian ca nô xuôi dòng là \(\dfrac{{108}}{{x + y}}\,\,\,\left( h \right)\)

Thời gian ca nô ngược dòng là \(\dfrac{{63}}{{x - y}}\,\,\left( h \right)\)

Vì ca nô xuôi dòng 108 km, rồi ngược dòng 63 km, mất 7 giờ nên ta có phương trình \(\dfrac{{108}}{{x + y}} + \dfrac{{63}}{{x - y}} = 7\,\,\left( 1 \right)\).

Lần thứ hai:

Thời gian ca nô xuôi dòng là \(\dfrac{{81}}{{x + y}}\,\,\,\left( h \right)\)

Thời gian ca nô ngược dòng là \(\dfrac{{84}}{{x - y}}\,\,\left( h \right)\)

Vì ca nô xuôi dòng 108 km, rồi ngược dòng 63 km, mất 7 giờ nên ta có phương trình \(\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7\,\,\left( 2 \right)\).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: \(\left\{ \begin{array}{l}\dfrac{{108}}{{x + y}} + \dfrac{{63}}{{x - y}} = 7\\\dfrac{{81}}{{x + y}} + \dfrac{{84}}{{x - y}} = 7\end{array} \right.\).

Đặt \(u = \dfrac{1}{{x + y}};\,\,v = \dfrac{1}{{x - y}}\) ta có: 

\(\begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}108u + 63v = 7\\81u + 84v = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}324u + 189v = 21\\324u + 336v = 28\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}147v = 7\\81u + 84v = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{1}{{21}}\\81u + 84.\dfrac{1}{{21}} = 7\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}v = \dfrac{1}{{21}}\\u = \dfrac{1}{{27}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\dfrac{1}{{x - y}} = \dfrac{1}{{21}}\\\dfrac{1}{{x + y}} = \dfrac{1}{{27}}\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 21\\x + y = 27\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x = 48\\x - y = 21\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\24 - y = 21\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 24\\y = 3\end{array} \right.\end{array}\)

Vậy tốc độ của ca nô khi dòng nước đứng yên là 24km/h và tốc độ của dòng nước là 3km/h.