Bài 26 trang 9 SBT hình học 12 nâng cao

Đề bài

Cho khối hộp \(ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}\) tất cả các cạnh bằng nhau và bằng a, góc \(\widehat {{A_1}AB} = \widehat {BAD} = \widehat {{A_1}AD}= \alpha\) \( \left( {{0^0} < \alpha  < {{90}^0}} \right).\) Hãy tính thể tích của khối hộp.

Lời giải chi tiết

Hạ \({A_1}H \bot AC(H \in AC)\left(  *  \right).\)

Tam giác A1BD cân ( do \({A_1}B = {A_1}D)\) suy ra \(BD \bot {A_1}O\). Mặt khác

\(\eqalign{  & BD \bot AC  \cr  &  \Rightarrow BD \bot \left( {{A_1}AO} \right) \Rightarrow BD \bot {A_1}H\left( { *  * } \right). \cr} \)

Từ \(\left(  *  \right)\) và \(\left( { *  * } \right) \Rightarrow {A_1}H \bot \left( {ABCD} \right).\)

Đặt  \(\widehat {{A_1}AO} = \varphi .\) Ta có hệ thức :

\(\cos \alpha  = cos\varphi .cos{\alpha  \over 2}\)

Thật vậy, hạ \({A_1}K \bot AD \Rightarrow HK \bot AK\) (định lý ba đường vuông góc )

\( \Rightarrow \cos \varphi .cos{\alpha  \over 2} = {{AH} \over {A{A_1}}}.{{AK} \over {AH}} = {{AK} \over {A{A_1}}} = \cos \alpha .\)

Từ đẳng thức trên ta suy ra : \(cos\varphi  = {{cos\alpha } \over {cos{\alpha  \over 2}}}.\)

Do đó

\({A_1}H = a.\sin \varphi  = a\sqrt {1 - {{{{\cos }^2}_\alpha } \over {co{s^2}{\alpha  \over 2}}}}  \)

\(= {a \over {cos{\alpha  \over 2}}}\sqrt {{{\cos }^2}_{{\alpha  \over 2}} - co{s^2}_\alpha } .\)

\(\eqalign{  & {V_{ABCD.{A_1}{B_1}{C_1}{D_1}}} = AB.AD.\sin \alpha .{A_1}H \cr&= {a^2}.\sin a.{a \over {cos{\alpha  \over 2}}}\sqrt {co{s^2}{\alpha  \over 2} - co{s^2}\alpha }   \cr  &  = 2{a^3}\sin {\alpha  \over 2}\sqrt {co{s^2}{\alpha  \over 2} - co{s^2}\alpha } . \cr} \)