Bài 3 trang 53 SGK Hình học 11

Đề bài

Cho ba đường thẳng \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) không cùng nằm trong một mặt phẳng và cắt nhau từng đôi một. Chứng minh ba đường thẳng trên đồng quy.

Lời giải chi tiết

Gọi \({d_{1,}}{d_2},{d_3}\) là ba đường thẳng đã cho.

Gọi \(I =d_1\cap d_2\) \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}
I \in {d_1}\\
I \in {d_2}
\end{array} \right.\)

Ta chứng minh \(I ∈ d_3\). Thật vậy,

Gọi (β) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d_1,d_3\).

\((\gamma)\) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \(d_2,d_3\).

Do ba đường thẳng không cùng nằm trong một mặt phẳng nên (β) và \((\gamma)\) phân biệt.

Ngoài ra 

\(\left\{ \begin{array}{l}
{d_3} \subset \left( \beta \right)\\
{d_3} \subset \left( \gamma \right)
\end{array} \right. \Rightarrow \left( \beta \right) \cap \left( \gamma \right) = {d_3}\)

\(I ∈ d_1\subset \left( \beta \right) \Rightarrow  I ∈ (β) = (d_1,d_3)\)

\(I ∈ d_2\subset \left( \gamma \right) \Rightarrow I ∈ (\gamma) = (d_2,d_3)\)

Từ đó suy ra, \(I ∈(\beta ) \cap (\gamma )=d_3\).

Cách khác:

Gọi (P) là mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau \({d_{1,}}{d_2}\)

Gọi \(M = {d_3}\; \cap {\rm{ }}{d_1}\;;{\rm{ }}N{\rm{ }} = {\rm{ }}{d_3}\; \cap {\rm{ }}{d_2}\). Giả sử \(M \ne {\rm{ }}N\)

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
M\; \in \;{d_{1\;}} \subset \;\left( P \right)\; \Rightarrow \;M\; \in \;\left( P \right)\\
N\; \in \;{d_2}\; \subset \;\left( P \right)\; \Rightarrow \;N\; \in \;\left( P \right)\\
M,N \in {d_3}
\end{array} \right.\quad \\
\Rightarrow {d_3} \equiv MN \subset (P) 
\end{array}\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}{d_1};{\rm{ }}{d_2};{\rm{ }}{d_3}\;\) cùng thuộc mặt phẳng \((P)\) (trái với giả thiết \({d_1};{\rm{ }}{d_2};{\rm{ }}{d_3}\;\) không đồng phẳng).

\( \Rightarrow\) Giả sử sai.

Vậy \(M \equiv {\rm{ }}N\) và \({\rm{ }}{d_1};{d_2};{d_3}\) đồng quy tại \(M\)

Vậy \({\rm{ }}{d_1};{d_2};{d_3}\) đồng quy.