Đề bài
Biết hệ số của \(x^2\) trong khai triển của \((1 - 3x)^n\) là \(90\). Tìm \(n\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức số hạng tổng quát của nhị thức Newton:
\[{T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\]
Sử dụng các công thức nhân, chia lũy thừa cùng cơ số: \({x^m}.{x^n} = {x^{m + n}};\,\,\dfrac{{{x^m}}}{{{x^n}}} = {x^{m - n}}\).
Để tìm hệ số của \(x^2\) ta cho số mũ của x bằng 2, giải phương trình tìm n.
Lời giải chi tiết
Số hạng tổng quát:
\(\begin{array}{l}{T_{k + 1}} = C_n^k{.1^{n - k}}.{\left( { - 3x} \right)^k}\\ = C_n^k.{\left( { - 3} \right)^k}.{x^k}\end{array}\)
Hệ số của \({x^2}\) ứng với \(k = 2\) hay hệ số của \({x^2}\) là \(C_n^2.{\left( { - 3} \right)^2} = 9C_n^2\)
Theo bài ra ta có:
\(\begin{array}{l}9C_n^2 = 90 \Leftrightarrow C_n^2 = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)\left( {n - 2} \right)!}}{{2!\left( {n - 2} \right)!}} = 10\\ \Leftrightarrow \dfrac{{n\left( {n - 1} \right)}}{2} = 10\\ \Leftrightarrow n\left( {n - 1} \right) = 20\\ \Leftrightarrow {n^2} - n - 20 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = 5\left( \text{Thỏa mãn} \right)\\n = - 4\left( \text{loại} \right)\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy \(n = 5\).
Bài 1. Sự tương phản về trình độ phát triển kinh tế - xã hội của các nhóm nước. Cuộc cách mạng khoa học và công nghệ hiện đại - Tập bản đồ Địa lí 11
Grammar Banksection
Tải 10 đề kiểm tra 15 phút - Chương I - Hóa học 11
Chuyên đề 2. Truyền thông tin bằng sóng vô tuyến
Chủ đề 5: Kĩ thuật đánh đầu
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
Chatbot GPT