Bài 37 trang 124 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Bốn điểm A(-1;2;3), B(2;-4;3),C(4;5;6), D(3;2;1) có thuộc cùng một mặt phẳng không ?

Lời giải chi tiết:

Cách 1: Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (3; - 6;0),\overrightarrow {AC}  = (5;3;3),\overrightarrow {AD}  = (4;0; - 2)\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right].\overrightarrow {AD}  = ( - 18).4 + ( - 9).0 + 39.( - 2) \)

                                     \(=  - 150 \ne 0.\)

Vậy A, B, C, D không thuộc cùng một mặt phẳng.

Cách 2:

Ta có phương trình mp(ABC) là -6x-3y+13z-39=0.

Thay tọa độ của điểm D(3;2;1) vào phương trình mặt phẳng đó , ta có được :

\(-6.3-3.2+13.1-39=-50 \ne 0.\)

Điều đó chứng tỏ \(D \notin mp(ABC)\) hay bốn điểm A, B, C,D không đồng phẳng.

Tìm a để bốn điểm A(1;2;1), B(2;a;0), C(4;-2;5),D(6;6;6) thuộc cùng một mặt phẳng .

Lời giải chi tiết:

\(\eqalign{
& \overrightarrow {AB} \left( {1;a - 2; - 1} \right) \cr 
& \overrightarrow {AC} \left( {3; - 4;4} \right) \cr 
& \overrightarrow {AD} \left( {5;4;5} \right) \cr 
& \Rightarrow \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right] = \left( { - 36;5;32} \right) \cr} \)

A, B, C, D cùng thuộc một mặt phẳng khi và chỉ khi:

\(\eqalign{
& \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AD} } \right].\overrightarrow {AB} = 0 \cr 
& \Leftrightarrow - 36.1 + 5.\left( {a - 2} \right) + 32.\left( { - 1} \right) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow 5a = 78 \cr 
& \Leftrightarrow a = {{78} \over 5} \cr} \)

Cho ba điểm A(1;1;1), B(3;-1;1), C(-1;0;2). Điểm C có thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB không ?

Lời giải chi tiết:

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì I=(2;0;1).Ta có \(\overrightarrow {AB}  = (2; - 2;0).\)

Vậy phương trình mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng AB là

\(2(x - 2) - 2(y - 0) = 0 \Leftrightarrow 2x - 2y - 4 = 0\)

hay \(x-y-2=0.\)

Thay tọa độ điểm C(-1;0;2) vào phương trình mặt phẳng đó, ta có:

\( - 1 - 0 - 2 =  - 3 \ne 0.\)

Vậy điểm C không thuộc mặt phẳng trung trực của đoạn AB.