Bài 4 trang 122 sgk đại số 11

Gọi \(u_n\) là diện tích của hình vuông màu xám thứ \(n\). Tính \(u_1, u_2, u_3\) và \(u_n\).

Phương pháp giải:

Tính diện tích của hình vuông \(S=a^2\) với \(a\) là cạnh của hình vuông.

Lời giải chi tiết:

Do hình vuông lớn có cạnh bằng 1, hình vuông màu xám thứ nhất có cạnh bằng một nửa cạnh hình vuông lớn nên:

Hình vuông thứ nhất có cạnh bằng \(\dfrac{1}{2}\) nên \({u_1} = {\left( {\dfrac{1}{2}} \right)^2} = \dfrac{1}{4^1}\).

Hình vuông thứ hai có cạnh bằng \(\dfrac{1}{4}\) nên \(\displaystyle{u_2} = {\left( {{1 \over 4}} \right)^2} = {1 \over {{4^2}}}\).

Hình vuông thứ ba có cạnh bằng \(\dfrac{1}{8}\) nên  \(\displaystyle{u_3} = {\left( {{1 \over 8}} \right)^2} = {1 \over {{4^3}}}\)

Tương tự, ta có \(u_n=\dfrac{1}{4^{n}}\)

Tính \(\lim S_n\) với \(S_n= {u_{1}} + {u_{2}} + {u_{3}} + ... + {u_{n}}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân lùi vô hạn \(S = \dfrac{{{u_1}}}{{1 - q}}\,\,\left( {\left| q \right| < 1} \right)\).

Lời giải chi tiết:

Dãy số \((u_n)\) là một cấp số nhân lùi vô hạn với  \(u_1=\dfrac{1}{4}\) và  \(q = \dfrac{1}{4}\). Do đó

\(\lim S_n=\dfrac{u_{1}}{1-q}= \dfrac{\dfrac{1}{4}}{1-\dfrac{1}{4}}=\dfrac{1}{3}\).