Bài 4 trang 168 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Tia phân giác của góc B cắt tại F, tia phân giác của góc C cắt AB tại E.

a) Chứng minh rằng \(\widehat {ABF} = \widehat {ACE}.\)

b) Chứng minh rằng tam giác AEF cân.

c) Gọi I là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng tam giác IBC và IEF  là những tam giác cân.

Lời giải chi tiết

a) Ta có: \(\widehat {FBC} = \widehat {ABF} = {{\widehat {ABC}} \over 2}\)   (BF là tia phân giác của góc ABC)

\(\widehat {ECB} = \widehat {ACE} = {{\widehat {ACB}} \over 2}\)   (CE là tia phân giác của góc ACB)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACE}(\Delta ABC\)  cân tại A)

Do đó: \(\widehat {ABF} = \widehat {FBC} = \widehat {ECB} = \widehat {ACE} \Rightarrow \widehat {ABF} = \widehat {ACE}\)

b) Xét tam giác AEC và AFB có:

\(\widehat {EAC} = \widehat {FAB}\)   (góc chung)

AC = AB (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat {ACE} = \widehat {ABF}\)   (chứng minh câu a)

Do đó: \(\Delta AEC = \Delta AFB(g.c.g) \Rightarrow AE = AF.\)   Vậy \(\Delta AEF\)  cân tại A.

c) Ta có: \(\widehat {IBC} = \widehat {ICB}\)   (chứng minh câu a). Vậy tam giác IBC cân tại I.

Ta có: \(\widehat {AEF} + \widehat {IEF} = \widehat {AEI};\widehat {AFE} + \widehat {IFE} = \widehat {AFI}\)

Mà \(\widehat {AEF} = \widehat {AFE};\widehat {AEI} = \widehat {AFI} \Rightarrow \widehat {IEF} = \widehat {IFE}\)

Do đó tam giác IEF cân tại I.