Bài 4 trang 85 SGK Giải tích 12

a) \(\dfrac 1 2 \log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 5{\rm{x}} + \log {\dfrac 1 {5x}}\)

Phương pháp giải:

Các bước giải phương trình logarit:

+) Tìm điều kiện xác định.

+) Sử dụng các phương pháp tương ứng để giải phương trình (có các phương pháp: đưa về cùng cơ số, đặt ẩn phụ, mũ hóa….).

+) Giải phương trình để tìm ẩn và so sánh với điều kiện xác định rồi kết luận nghiệm của phương trình.

Bài toán này chủ yếu sử dụng phương pháp đưa về cùng cơ số:   \({\log _a}f\left( x \right) = {\log _a}g\left( x \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f\left( x \right) > 0\\g\left( x \right) > 0\\f\left( x \right) = g\left( x \right)\end{array} \right..\)

Chú ý: \(\log a + \log b= \log ab\); \(\log a - \log b= \log \dfrac {a}{b}\)

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{1}{2}\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 5x + \log \dfrac{1}{{5x}}.\)

Điều kiện:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} + x - 5 > 0\\5x > 0\\\dfrac{1}{{5x}} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > \dfrac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2}\\x < \dfrac{{ - 1 - \sqrt {21} }}{2}\end{array} \right.\\x > 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow x > \dfrac{{ - 1 + \sqrt {21} }}{2} \approx 1,79.\)

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log \left( {5x.\dfrac{1}{{5x}}} \right)\\ \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = \log 1\\\Leftrightarrow \log \left( {{x^2} + x - 5} \right) = 0\\\Leftrightarrow {x^2} + x - 5 = {10^0}=1\\ \Leftrightarrow {x^2} + x - 6 = 0\\\Leftrightarrow \left( {x + 3} \right)\left( {x - 2} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 3 = 0\\x - 2 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 3\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 2\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=2\).

b)  \(\dfrac 1 2 .\log \left( {{x^2} - 4{\rm{x}} - 1} \right) = \log 8{\rm{x}} - \log 4{\rm{x}}\)

Lời giải chi tiết:

\(\dfrac{1}{2}.\log \left( {{x^2} - 4x - 1} \right) = \log 8x - \log 4x.\)

Điều kiện:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 4x - 1 > 0\\8x > 0\\4x > 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x > 2 + \sqrt 5 \\x < 2 - \sqrt 5 \end{array} \right.\\x > 0\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow x > 2 + \sqrt 5 .\)

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow \dfrac{1}{2}.\log \left( {{x^2} - 4x - 1} \right) = \log \dfrac{{8x}}{{4x}}\\ \Leftrightarrow \log \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  = \log 2\\ \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 4x - 1}  = 2\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 1 = 4\\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x - 5 = 0\\\Leftrightarrow \left( {x + 1} \right)\left( {x - 5} \right) = 0\\\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x + 1 = 0\\x - 5 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x =  - 1\;\;\left( {ktm} \right)\\x = 5\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right..\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=5.\)

c)  \({\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _{4}}x + {\log _8}x = 13\)

Lời giải chi tiết:

\({\log _{\sqrt 2 }}x + 4{\log _4}x + {\log _8}x = 13.\)

Điều kiện:  \(x > 0.\)

\(\begin{array}{l}Pt \Leftrightarrow {\log _{{2^{\frac{1}{2}}}}}x + 4{\log _{{2^2}}}x + {\log _{{2^3}}}x = 13\\\Leftrightarrow 2{\log _2}x + 4.\dfrac{1}{2}.{\log _x}x + \dfrac{1}{3}.{\log _2}x = 13\\\Leftrightarrow \dfrac{{13}}{3}.{\log _2}x = 13\\\Leftrightarrow {\log _2}x = 3\\\Leftrightarrow x = {2^3} = 8\;\;\left( {tm} \right).\end{array}\)

Vậy phương trình có nghiệm \(x=8.\)