Bài 5 trang 171 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A có \(\widehat B = 2\widehat A.\)  Phân giác của góc B cắt AC tại D.

a) Tính số đo các góc của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng DA = DB.

c) Chứng minh rằng DA = BC.

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB}(\Delta ABC\)  cân tại A)

\(\widehat {ABC} = 2\widehat {BAC}(gt)\)

Nên \(\widehat {ACB} = 2\widehat {BAC}\)

Mà tam giác ABC có: \(\widehat {BAC} + \widehat {ABC} + \widehat {ACB} = {180^0}.\)

Do đó: \(\eqalign{  & \widehat {BAC} + 2\widehat {BAC} + 2\widehat {BAC} = {180^0}  \cr  &  \Rightarrow 5\widehat {BAC} = {180^0} \Rightarrow \widehat {BAC} = {{{{180}^0}} \over 5} = {36^0} \cr} \)

Do đó: \(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = {2.36^0} = {72^0}.\)

b) Ta có: \(\widehat {BAD} = {{\widehat {ABC}} \over 2}(gt)\)

\(\widehat {ABD} = \widehat {DBC} = {{\widehat {ABC}} \over 2}\)   (BD là tia phân giác của ABC)

Do đó: \(\widehat {BAD} = \widehat {ABD} = \widehat {DBC}.\)

Tam giác ADB có: \(\widehat {DAB} = \widehat {ABD} \Rightarrow \Delta ADB\)  cân tại D.

Vậy DA = DB.

c) Ta có: \(\widehat {BDC} = \widehat {ABD} + \widehat {DAB}\)   (góc ngoài của tam giác ABD)

Mà \(\widehat {ABD} = \widehat {DAB}\)   nên \(\widehat {BDC} = 2\widehat {BAD}\)

\(\widehat {ABC} = \widehat {ACB} = 2\widehat {BAD}(\Delta ABC\)  cân tại A và \(\widehat B = 2\widehat A)\)

Suy ra: \(\widehat {BDC} = \widehat {DCB} \Rightarrow \Delta BDC\)  cân tại B => BD = BC.

Mà AD = BD (chứng minh trên). Do đó: BC = AD.