Bài 5 trang 175 Tài liệu dạy – học Toán 7 tập 1

Đề bài

Cho tam giác ABC cân tại A. Trên cạnh BC lần lượt lấy hai điểm M và N sao cho MN = MN = NC. Gọi H là trung điểm của BC.

a) Chứng minh rằng AM = AN.

b) Chứng minh rằng \(AH \bot BC.\)

c) Cho biết AB = 5 cm, BC = 6 cm. Tính AM.

Lời giải chi tiết

a)Xét tam giác ABM và CAN ta có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

\(\widehat {ABM} = \widehat {ACN}(\Delta ABC\)  cân tại A)

BM = CN (giả thiết)

Do đó: \(\Delta ABM = \Delta ACN(c.g.c) \Rightarrow AM = AN.\)

b)Xét hai tam giác ABH và ACH ta có:

AB = AC (tam giác ABC cân tại A)

BH = CH (H là trung điểm BC)

AH là cạnh chung.

Do đó: \(\Delta ABH = \Delta ACH(c.c.c) \Rightarrow \widehat {AHB} = \widehat {AHC}.\)

Mà \(\widehat {AHB} + \widehat {AHC} = {180^0}\)   (hai góc kề bù)

Nên \(\widehat {AHB} + \widehat {AHB} = {180^0} \Rightarrow 2\widehat {AHB} = {180^0} \Rightarrow \widehat {AHB} = {90^0}.\)   Vậy \(AH \bot BC.\)

c) Ta có: \(\eqalign{  & BH = HC = {{BC} \over 2} = {6 \over 2} = 3cm  \cr  & BM = MN = NC = {{BC} \over 2} = {6 \over 3} = 2cm  \cr  & BM + MH = BH \Rightarrow MH = BH - BM = 3 - 2 = 1(cm). \cr} \)

Tam giác ABH vuông tại H \(\Rightarrow A{B^2} = A{H^2} + B{H^2}\)   (định lí Pythagore)

Do đó: \(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {5^2} - {3^2} = 16,AH > 0\)  Vậy \(AH = \sqrt {16}  = 4(cm).\)

Tam giác AMH vuông tại H \(\Rightarrow A{M^2} = A{H^2} + M{H^2}\)   (định lí Pythagore)

Do đó: \(A{M^2} = {4^2} + {1^2} = 16 + 1 = 17\)

Mà AM > 0. Vậy \(AM = \sqrt {17} (cm).\)