Bài 5 trang 24 SGK Giải tích 12

Tính giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau: $y =|x|$ ;

Phương pháp giải:

- Phá dấu giá trị tuyệt đối đưa hàm số về dạng khoảng.

- Lập bảng biến thiên và kết luận.

Lời giải chi tiết:

$y=\left| x \right|.$

Ta có: 

$y = |x| = \left\{ \begin{gathered}
x\text{nếu }x \geqslant 0 \hfill \\
- x\text{ nếu }x < 0 \hfill \\ 
\end{gathered} \right.$

Tập xác định: $D=\mathbb R.$

$y' = \left\{ \begin{array}{l}
1\,\text{nếu }\,x > 0\\
- 1\,\text{nếu }\,x < 0
\end{array} \right.$

Ta có bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta có hàm số đạt GTNN tại $x=0;{\min }\,y=0.$

$\displaystyle y =x+{4\over x}$ $\displaystyle ( x > 0)$.

Phương pháp giải:

- Tìm TXĐ.

- Tính đạo hàm và tìm nghiệm.

- Lập bảng biến thiên rồi kết luận.

Lời giải chi tiết:

$y=x+\dfrac{4}{x}\ \ \ \left( x>0 \right).$

Ta có: $y'=1-\dfrac{4}{{{x}^{2}}}$

$\Rightarrow y'=0\Leftrightarrow 1-\dfrac{4}{{{x}^{2}}}=0$

$\Leftrightarrow {{x}^{2}}-4=0\Leftrightarrow \left[ \begin{align}& x=-2\notin \left( 0;+\infty  \right) \\ & x=2\in \left( 0;+\infty  \right) \\ \end{align} \right.$

Bảng biến thiên:

Từ bảng biến thiên ta thấy: $\underset{\left( 0;+\infty  \right)}{\mathop{min}}\,y=4\ \ khi\ \ x=2.$

Cách khác:

Áp dụng BĐT Cô-si ta có:

$y = x + \dfrac{4}{x} \ge 2\sqrt {x.\dfrac{4}{x}}  = 4 $ $\Rightarrow y \ge 4 $

$\Rightarrow \mathop {\min }\limits_{\left( {0; + \infty } \right)} y = 4$ khi $x = \dfrac{4}{x} \Leftrightarrow {x^2} = 4 \Leftrightarrow x = 2$.