Bài 54 trang 127 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Tính góc tạo bởi các đường thẳng AC’ và A’B.

Lời giải chi tiết:

Ta chọn hệ trục Oxyz sao cho gốc O là đỉnh A’ của hình lập phương, tia Oy chứa A’B’, tia Oy chứa A’D’ và tia Oz chứa AA’. Khi đó

A’(0;0;0), B’(1;0;0);

D’(0;1;0), A=(0;0;1);

C=(1;1;1), B=(1;0;1);

D=(0;1;1), C’(1;1;0).

Từ đó :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AC'}  = (1;1; - 1),\overrightarrow {A'B}  = (1;0;1)  \cr  &  \Rightarrow \overrightarrow {AC'} .\overrightarrow {A'B}  = 0 \Rightarrow AC' \bot A'B. \cr} \)

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh A’B’, BC, DD’. Chứng minh AC’ vuông góc với mặt phẳng (MNP).

Lời giải chi tiết:

Ta có

\(\eqalign{  & M = \left( {{1 \over 2};0;0} \right),N = \left( {1;{1 \over 2};1} \right),P = \left( {0;1;{1 \over 2}} \right).  \cr  & \overrightarrow {MN}  = \left( {{1 \over 2};{1 \over 2};1} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} .\overrightarrow {AC'}  = 0 \cr&\Rightarrow MN \bot AC'.  \cr  & \overrightarrow {MP}  = \left( { - {1 \over 2};1;{1 \over 2}} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MP} .\overrightarrow {AC'}  = 0 \cr&\Rightarrow MP \bot AC'.  \cr  &  \cr} \)

Vậy \(AC' \bot mp(MNP).\)

Tính thể tích tứ diện AMNP.

Lời giải chi tiết:

Ta có : \(\eqalign{  & \overrightarrow {MA}  = \left( { - {1 \over 2};0;1} \right).  \cr  & \left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right] = \left( {\left| \matrix{  {1 \over 2} \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  1 \hfill \cr  {1 \over 2} \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  1 \hfill \cr  {1 \over 2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {1 \over 2} \hfill \cr   - {1 \over 2} \hfill \cr}  \right|;\left| \matrix{  {1 \over 2} \hfill \cr   - {1 \over 2} \hfill \cr}  \right.\left. \matrix{  {1 \over 2} \hfill \cr  1 \hfill \cr}  \right|} \right) \cr&= \left( { - {3 \over 4}; - {3 \over 4};{3 \over 4}} \right)  \cr  &  \Rightarrow {V_{AMNP}} = {1 \over 6}\left| {\left[ {\overrightarrow {MN} ,\overrightarrow {MP} } \right].\overrightarrow {MA} } \right| \cr&\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;= {1 \over 6}.\left| {{9 \over 8}} \right| = {3 \over {16}}. \cr} \)