Bài 6 trang 98 sgk Hình học 11

Đề bài

Trong không gian cho hai hình vuông \(ABCD\) và \(ABC'D'\) có chung cạnh \(AB\) và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm \(O\) và \(O'\). Chứng minh rằng \(AB ⊥ OO'\) và tứ giác \(CDD'C'\) là hình chữ nhật.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Chứng minh \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {OO'}  = 0\), sử dụng công thức \(\overrightarrow a .\overrightarrow b  = \left| {\overrightarrow a } \right|.\left| {\overrightarrow b } \right|.\cos {\left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right)}\)

+) Chứng minh CDD'C' là tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau và có 1 góc vuông.

Lời giải chi tiết

\(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{OO'}=\overrightarrow{AB}.(\overrightarrow{AO'}-\overrightarrow{AO})\)

\(=\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO'}-\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AO}\)

\(= AB.AO'.\cos45^{0} - AB.AO.\cos45^{0}\)

\(= 0\). 

Vậy \(AB ⊥ OO'\).

\(\left\{ \begin{array}{l}CD//C'D'\\CD = C'D'\end{array} \right. \Rightarrow CDD'C'\) là hình bình hành (Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau).

Xét tam giác \(ACC'\) có \(OO'\) là đường trung bình của tam giác nên \(OO'//CC'\).

Mà \(AB//CD\) và \(AB ⊥ OO'\) nên \(CD⊥CC'\).

\(\Rightarrow  CDD'C'\) là hình chữ nhật (Hình bình hành có 1 góc vuông).