Bài 62 trang 91 sgk Toán lớp 9 tập 2

Đề bài

a) Vẽ tam giác \(ABC\) cạnh \(a = 3cm\).

b) Vẽ đường tròn \((O;R)\) ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\). Tính \(R\).

c) Vẽ đường tròn \((O;r)\) nội tiếp tam giác đều \(ABC\). Tính \(r\).

d) Vẽ tiếp tam giác đều \(IJK\) ngoại tiếp đường tròn \((O;R)\).

Phương pháp giải - Xem chi tiết

+) Sử dụng thước và compa để vẽ hình.

+) Tâm đường tròn ngoại tiếp là giao của 3 đường trung trực.

+) Tâm đường tròn nội tiếp là giao của 3 đường phân giác.

+) Sử dụng định lý Pi-ta-go và tính chất của tam giác đều để tính R và r.

Lời giải chi tiết

a) Vẽ tam giác đều \(ABC\) có cạnh bằng \(3cm\) (dùng thước có chia khoảng và compa).

+ Dựng đoạn thẳng AB = 3cm .

+Dựng cung tròn (A, 3) và cung tròn (B, 3). Hai cung tròn này cắt nhau tại điểm C.

Nối A với C, B với C ta được tam giác đều ABC cạnh 3cm.

b) Gọi \(A';B';C'\) lần lượt là trung điểm của \(BC;AC;AB.\)

Tâm \(O\) của đường tròn ngoại tiếp tam giác đều \(ABC\) là giao điểm của ba đường trung trực (đồng thời là ba đường cao, ba trung tuyến, ba phân giác \(AA';BB';CC'\) của tam giác đều \(ABC\)).

Dựng đường trung trực của đoạn thẳng BC và CA.

Hai đường trung trực cắt nhau tại O.

Vẽ đường tròn tâm O, bán kính \(R=OA = OB = OC\) ta được đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Tính \(AA'\):

Xét tam giác \(AA'C\) vuông tại \(A'\) có \(AC=3;A'C=\dfrac{3}{2}\), theo định lý Pytago ta có \(AC^2=AA'^2+A'C^2\)\(\Rightarrow AA'^2=3^2-\dfrac {3^2}{4}=\dfrac {9}{4} \Rightarrow AA'=\dfrac {3\sqrt {3}}{2}\)

Theo cách dựng ta có O cũng là trọng tâm tam giác ABC nên \(OA=\dfrac{2}3AA'\) 

Ta có bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là   \(R= OA =\) \(\dfrac{2}{3}\)\(AA'\) = \(\dfrac{2}{3}\). \(\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) = \(\sqrt3 (cm)\).

c) Do tam giác ABC là tam giác đều các trung điểm A’; B’; C’ của các cạnh BC; CA; AB đồng thời là chân đường phân giác hạ từ A, B, C đến BC, AC, AB.

Đường tròn nội tiếp \((O;r)\) tiếp xúc ba cạnh của tam giác đều \(ABC\) tại các trung điểm \(A', B', C'\) của các cạnh.

Hay đường tròn (O; r) là đường tròn tâm O; bán kính \(r=OA’ = OB’ = OC’.\)

Ta có: \(r = OA' \)\(=\dfrac{1}{3}\)\( AA'\) \(=\dfrac{1}{3}.\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\) \(=\dfrac{\sqrt{3}}{2}(cm).\)

d) Vẽ các tiếp tuyến với đường tròn \((O;R)\) tại \(A,B,C\). Ba tiếp tuyến này cắt nhau tại \(I, J, K\). Ta có \(∆IJK\) là tam giác đều ngoại tiếp \((O;R)\).