Bài 66 trang 100 SGK Toán 8 tập 1

Đề bài

Đố. Một đội công nhân đang trồng cây trên đoạn đường \(AB\) thì gặp chướng ngại vật che lấp tầm nhìn (h.\(92\)). Đội đã dựng các điểm \(C, D, E\) như trên hình vẽ rồi trồng cây tiếp trên đoạn thẳng \(EF\) vuông góc với \(DE\). Vì sao \(AB\) và \(EF\) cùng nằm trên một đường thẳng ?

Lời giải chi tiết

 Tứ giác \(BCDE\) có:

\(BC // DE\) (vì cùng vuông góc với \(CD\))

\(BC = DE\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BCDE\)  là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Mà  \(\widehat {BCD} = {90^0}\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \) Hình bình hành \(BCDE\) là hình chữ nhật (dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật)

\( \Rightarrow \) \(\widehat {CBE} = \widehat {BED} = {90^0}\)

Mặt khác: \(\widehat {CBA} = \widehat {FED} = {90^0}\) (giả thiết)

Ta có: \(\widehat {CBA} + \widehat {CBE} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \)\(A,B,E\) thẳng hàng (1)

\(\widehat {FED} + \widehat {BED} = {90^0} + {90^0} = {180^0}\)

\( \Rightarrow \) \(B,E,F\) thẳng hàng (2)

Từ (1) và (2) \( \Rightarrow \) \(AB\) và \(EF\) cùng nằm trên một đường thẳng.

Cách khác: 

Tứ giác \(BCDE\) có:

\(BC // DE\) (vì cùng vuông góc với \(CD\))

\(BC = DE\) (giả thiết)

\( \Rightarrow \) Tứ giác \(BCDE\)  là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

Suy ra \(BE//CD\) (*) (tính chất)

Lại có \(\widehat {ABC} = \widehat {BCD} = {90^0}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(AB//CD\) (**)

\(\widehat {DEF} = \widehat {CDE} = {90^0}\) mà hai góc này ở vị trí so le trong nên \(EF//CD\) (***)

Từ (*), (**), (***) và theo tiên đề Ơclit ta suy ra \(A,B,E,F\) thẳng hàng

Hay \(AB\) và \(EF\) cùng nằm trên một đường thẳng.