Bài 8 trang 117 Sách bài tập Hình học lớp 12 Nâng cao

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ biết \(A({x_1};{y_1};{z_1}),C({x_3};{y_3};{z_3}),B'(x{'_2};y{'_2};z{'_2}),\)

\(D'(x{'_4};y{'_4};z{'_4}).\) Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.

Lời giải chi tiết:

Đặt \(O = AC \cap BD,O' = A'C' \cap B'D'.\)

Ta có :

\(\eqalign{  & O = \left( {{{{x_1} + {x_3}} \over 2};{{{y_1} + {y_3}} \over 2};{{{z_1} + {z_3}} \over 2}} \right),  \cr  & O' = \left( {{{x{'_2} + x{'_4}} \over 2};{{y{'_2} + y{'_4}} \over 2};{{z{'_2} + z{'_4}} \over 2}} \right) \cr} \)

Từ

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {OO'} ,\overrightarrow {CC'}  = \overrightarrow {OO'} ,  \cr  & \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {OO'} ,\overrightarrow {{\rm{DD}}'}  = \overrightarrow {OO'}   \cr  &  \cr} \)

Suy ra :

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Biết A(1;0;1), B(2;1;2), D(1;-1;1), C’(4;5;-5). Tìm tọa độ các đỉnh còn lại.

Lời giải chi tiết:

Ta có \(\overrightarrow {AC}  = \overrightarrow {AB}  + \overrightarrow {AD} \). Đặt C = (x;y;z), ta có :

\(\left\{ \matrix{  x - 1 = (2 - 1) + (1 - 1) \hfill \cr  y - 0 = (1 - 0) + ( - 1 - 0) \hfill \cr  z - 1 = (2 - 1) + (1 - 1) \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  x = 2 \hfill \cr  y = 0 \hfill \cr  z = 2 \hfill \cr}  \right. \)

\(\Rightarrow C = (2;0;2).\)

Mặt khác :

\(\eqalign{  & \overrightarrow {AA'}  = \overrightarrow {CC'}  \Rightarrow A' = (3;5; - 6)  \cr  & \overrightarrow {BB'}  = \overrightarrow {CC'}  \Rightarrow B' = (4;6; - 5)  \cr  & \overrightarrow {{\rm{DD}}'}  = \overrightarrow {CC'}  \Rightarrow D' = (3;4; - 6). \cr} \)