Đề bài
Tìm cấp số cộng tăng, biết rằng tổng ba số hạng đầu của nó bằng \(27\) và tổng các bình phương của chúng bằng \(275\).
Phương pháp giải - Xem chi tiết
Sử dụng công thức SHTQ của CSC: \(u_n=u_1+(n-1)d\).
Lời giải chi tiết
Xét cấp số cộng \(u_1, u_2, u_3,...\) có công sai \(d > 0\)
Theo giả thiết ta có:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{u_1} + {u_2} + {u_3} = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {u_2}^2 + {u_3}^2 = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} + ({u_1} + d) + ({u_1} + 2d) = 27 \hfill \cr
{u_1}^2 + {({u_1} + d)^2} + {({u_1} + 2d)^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
3{u_1} + 3d = 27 \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{u_1} = 9 - d\,\,\,(1) \hfill \cr
3{u_1}^2 + 6{u_1}d + 5{d^2} = 275\,\,\,(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Thay \(u_1\) ở (1) vào (2) ta được:
\(\begin{array}{l}
\,\,\,\,\,3{\left( {9 - d} \right)^2} + 6d\left( {9 - d} \right) + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 243 - 54d + 3{d^2} + 54d - 6{d^2} + 5{d^2} = 275\\
\Leftrightarrow 2{d^2} = 32 \Leftrightarrow d = \pm 4
\end{array}\)
Vì \(d > 0\) nên ta chỉ chọn \(d = 4, u_1= 5\)
Vậy cấp số cộng phải tìm là \(5, 9, 13, 17, ...\)
Cách khác:
Gọi ba số hạng đầu của CSC lần lượt là: \(x - d;x;x + d\) với \(d > 0\).
Theo bài ra ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}x - d + x + x + d = 27\\{\left( {x - d} \right)^2} + {x^2} + {\left( {x + d} \right)^2} = 275\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3x = 27\\{x^2} - 2dx + {d^2} + {x^2} + 2dx + {d^2} = 275\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\3{x^2} + 2{d^2} = 275\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\{d^2} = 16\end{array} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 9\\d = 4\left( {d > 0} \right)\end{array} \right.\)
Số hạng đầu là \({u_1} = x - d = 9 - 4 = 5\).
Vậy CSC cần tìm có \({u_1} = 5,d = 4\).
SBT tiếng Anh 11 mới tập 2
Chủ đề 2: Giao cầu
Phần hai. Địa lí khu vực và quốc gia
Chuyên đề 2: Một số vấn đề về pháp luật dân sự
Unit 9: Life Now and in the Past
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
Chatbot GPT