Bài 8 trang 26 SGK Hình học 12

Đề bài

Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình chữ nhật, \(SA\) vuông góc với đáy và \(AB = a, AD = b, SA =c\). Lấy các điểm \(B', D'\) theo thứ tự thuộc \(SB, SD\) sao cho \(AB'\) vuông góc với \(SB, AD'\) vuông góc với \(SD\). Mặt phẳng \((AB'D')\) cắt \(SC\) tại \(C'\). Tính thể tích khối chóp \(S.AB'C'D'\).

Lời giải chi tiết

Ta có \(BC \bot AB,BC \bot SA \Rightarrow BC \bot \left( {SAB} \right)\) \(\Rightarrow BC\bot AB'\)

Theo giả thiết \(SB \bot AB'\) \(\Rightarrow AB' \bot (SBC) \Rightarrow AB' \bot SC\)         (1)

Chứng minh tương tự ta có: \(AD' \bot SC\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(SC \bot (AB'C'D')\) hay \(SC' \bot (AB'C'D')\)

Do đó \(SC'\) là đường cao của hình chóp \(S.AB'C'D'\).

Từ \(AB' \bot (SBC)\) \( \Rightarrow AB' \bot B'C'\)

Tương tự ta có: \(AD' \bot D'C'\)

\( \Rightarrow {S_{AB'C'D'}} = {S_{AB'C'}} + {S_{AD'C'}} \)

\(= \dfrac{1}{2}AB'.B'C' + \dfrac{1}{2}AD'.D'C'\) \( = \dfrac{1}{2}\left( {AB'.B'C' + AD'.D'C'} \right)\)

Từ các kết quả trên, ta được:

\(\displaystyle{V_{AB'C'D'}} = {1 \over 3}.SC'.{1 \over 2}(AB'.B'C' + AD'.D'C')\)

\(\displaystyle ={1 \over 6}SC'.(AB'.B'C' + AD'.D'C')\)     (*)

Ta tính các yếu tố trên.

Tam giác vuông \(SAB\) có \(AB'\) là đường cao, nên ta có:

\(\displaystyle{1 \over {AB{'^2}}} = {1 \over {{a^2}}} + {1 \over {{c^2}}} \Rightarrow AB{'^2} = {{{a^2}{c^2}} \over {{a^2} + {c^2}}}\) \( \displaystyle \Rightarrow AB' = {{ac} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} }}\)

Tương tự, ta có:

\(\displaystyle AD{'^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}} \Rightarrow AD' = {{bc} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} }}\)

Ta lại có: \(SC^2 = AC^2 + AS^2 = a^2 + b^2 + c^2 \Rightarrow SC = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \)

Trong tam giác vuông \(SAC, AC'\) là đường cao

\(\Rightarrow SC'.SC = SA^2\) \( \displaystyle \Rightarrow SC' = {{S{A^2}} \over {SC}} = {{{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

\(∆SBC\) đồng dạng  \(∆SC'B'\) (g.g)\( \displaystyle \Rightarrow {{B'C'} \over {BC}} = {{SC'} \over {SB}}\)

\(\displaystyle \Rightarrow B'C' = {{SC'.BC} \over {SB}} = {{b{c^2}} \over {\sqrt {{a^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Tương tự ta có:  \(\displaystyle D'C' = {{{c^2}a} \over {\sqrt {{b^2} + {c^2}} \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }}\)

Thay các kết quả này vào (*) ta được:

\(\displaystyle V = {1 \over 6}.{{ab{c^5}({a^2} + {b^2} + 2{c^2})} \over {({a^2} + {c^2})({b^2} + {c^2})({a^2} + {b^2} + {c^2})}}\)