Bài tập 11 trang 134 Tài liệu dạy – học Toán 8 tập 1

Đề bài

Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA và I , K lần lượt là trung điểm các đường chép AC và BD. Chứng minh:

a) Các tứ giác MNPQ, INKQ là hình bình hành.

b) Các đường thẳng MP, NQ, IK đồng quy.

Lời giải chi tiết

a) Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, BC

\( \Rightarrow MN\) là đường trung bình của tam giác ABC \( \Rightarrow MN//AC\) và \(MN = {1 \over 2}AC\,\,\,\left( 1 \right)\)

Q, P là trung điểm của AD và DC

\( \Rightarrow QP\) là đường trung bình của tam giác ADC \( \Rightarrow QP//AC\) và \(QP = {1 \over 2}AC\,\,\,\left( 2 \right)\)

Từ (1) và (2) suy ra \(MN//QP\) và \(MN = QP\)

\( \Rightarrow MNPQ\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

Ta có: Q, I lần lượt là trung điểm của AC và AC

\( \Rightarrow QI\) là đường trung bình của tam giác ADC \( \Rightarrow QI//DC\) và \(QI = {1 \over 2}DC\,\,\,\left( 3 \right)\)

K, N lần lượt là trung điểm của DB và BC

\( \Rightarrow KN\) là đường trung bình của tam giác DBC

\( \Rightarrow KN//DC\) và \(KN = {1 \over 2}DC\,\,\left( 4 \right)\)

Từ (3) và (4) suy ra \(QI//KN\) và \(QI = KN\(.

\( \Rightarrow INKQ\) là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết)

b) Gọi G là giao điểm của MP và NQ (5)

Mà MP và NQ là hai đường chéo của hình bình hành MNPQ

Nên G là trung điểm của QN

Tứ giác INKQ là hình bình hành có G là trung điểm của QN

\( \Rightarrow G\) là trung điểm của IK \( \Rightarrow IK\) đi qua G (6)

Từ (5), (6) suy ra MP, NQ, IK đồng quy.