Câu 15 trang 108 SGK Đại số và giải tích 11

Đề bài

Hãy cho biết dãy số \((u_n)\) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của nó là:

A. \({( - 1)^{n + 1}}.\sin {\pi  \over n}\)      B. \({( - 1)^{2n}}({5^n} + 1)\)

C. \(\displaystyle{1 \over {\sqrt {n + 1}  + n}}\)         D. \(\displaystyle{n \over {{n^2} + 1}}\)

Lời giải chi tiết

Xét từng phương án ta có:

_ Phương án A không được vì dãy số có chứa nhân tử \({\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\) nên các số hạng sẽ đan dấu, do đó, \(u_n\) không thể là dãy số tăng.

_ Phương án C:

\(\eqalign{
& {u_3} = {1 \over {\sqrt {3 + 1} + 1}} = {1 \over 3} \cr
& {u_8} = {1 \over {\sqrt {8 + 1} + 1}} = {1 \over 4} \cr} \)

\(⇒ u_8 < u_3  ⇒ u_n\) không là dãy số tăng \(⇒\) loại đáp án C

_ Phương án D: \({u_1} = {1 \over 2},{u_2} = {2 \over 5}\)

\(⇒ u_2< u_1⇒ u_n\) không là dãy số tăng \(⇒\) loại phương án D

Chọn đáp án B.

Thật vậy:

\({u_n} = {\rm{ }}{\left( { - 1} \right)^{2n}}.({5^n} + {\rm{ }}1){\rm{ }} = {\rm{ }}{5^n} + 1\) 

(vì \(2n\) chẵn nên \({\left( { - 1} \right)^{2n}} = {\rm{ }}1\))                                                                

Ta có:

\({u_{n + 1}} - {u_n} =({5^{n + 1}} + 1)-({5^n} +1) = {5^{n + 1}}-{5^n}\)

\(= 5^n. (5 – 1) = 4. 5^n> 0, ∀ n ∈ {\mathbb N}^*\)

Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng.

Cách tổng quát:

Đáp án A:

(u_n): \({u_n} = {\left( { - 1} \right)^{n + 1}}.\sin \frac{\pi }{n}\) có:

\({u_1};{\rm{ }}{u_{3\;}};{\rm{ }}{u_{5\;}};{\rm{ }} \ldots \;\) dương

\({u_2};{\rm{ }}{u_{4\;}};{\rm{ }}{u_{6\;}};{\rm{ }} \ldots \) âm

⇒ dãy số không tăng không giảm.

Đáp án B:

\(({u_n}):{\left( { - 1} \right)^{2n}}.({5^n}\; + {\rm{ }}1) = {5^n}\; + {\rm{ }}1{\rm{ }}.\)

\({u_{n + 1}}\; = {\rm{ }}{5^{n + 1}}\; + {\rm{ }}1{\rm{ }} > {\rm{ }}{5^n}\; + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{u_n}\) với mọi n ∈ N.

\( \Rightarrow {\rm{ }}({u_n})\) là dãy số tăng.

Đáp án C:

\(\begin{array}{l}
+ \;({u_n}):{u_n} = \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + n}}\\
{u_{n + 1}} = \frac{1}{{\sqrt {n + 2} + n + 1}} < \frac{1}{{\sqrt {n + 1} + n}} = {u_n}
\end{array}\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}({u_n})\) là dãy số giảm.

Đáp án D:

\(\begin{array}{l}
+ \;({u_n}):{u_n} = \frac{n}{{{n^2} + 1}}\\
{u_{n + 1}} - {u_n} = \frac{{n + 1}}{{{{\left( {n + 1} \right)}^2} + 1}} - \frac{n}{{{n^2} + 1}}\\
= \frac{{\left( {n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right) - n.\left( {{n^2} + 2n + 1} \right)}}{{\left( {{n^2} + 2n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}}\\
= \frac{{ - {n^2} - n + 1}}{{\left( {{n^2} + 2n + 1} \right)\left( {{n^2} + 1} \right)}} < 0\quad \forall n \ge 1.
\end{array}\)

\( \Rightarrow {\rm{ }}({u_n})\) là dãy giảm.