Câu 20 trang 53 Sách bài tập Hình học 11 nâng cao.

Đề bài

Tứ diện ABCD thỏa mãn điều kiện \(AB.CD = AC.BD = AD.BC.\) Chứng minh rằng các đường thẳng đi qua mỗi đỉnh và tâm đường tròn nội tiếp của mặt đối diện đồng quy tại một điểm.

Lời giải chi tiết

Vì bốn đỉnh của tứ diện không đồng phẳng nên bốn đường thẳng (lần lượt đi qua mỗi đỉnh của tứ diện và tâm đường tròn nội tiếp của mặt đối diện) cũng không đồng phẳng. Để chứng minh bốn đường thẳng đó đồng quy ta chỉ cần chứng minh chúng đôi một cắt nhau.

Gọi A’, B’ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp của tam giác BCD và tam giác ACD. Gọi E là giao điểm của BA’ với CD. Theo tính chất đường phân giác, ta có:

\({{EC} \over {ED}} = {{BC} \over {BD}}\)

Từ giả thiết 

\(\eqalign{
& AC.BD = AD.BC \Rightarrow {{BC} \over {BD}} = {{AC} \over {AD}} \cr 
& \Rightarrow {{EC} \over {ED}} = {{AC} \over {AD}} \cr} \)

Suy ra AE là đường phân giác của góc CAD, do đó tâm B’ của đường tròn nội tiếp tam giác ACD phải thuộc AE. Hai đường thẳng AA’ và BB’ nằm trong mp(ABE), dễ thấy chúng không song song nên chúng cắt nhau.

Chứng minh tương tự, hai đường thẳng bất kì trong bốn đường thẳng nói trên cắt nhau. Vậy bốn đường thẳng đó không đồng phẳng và đôi một cắt nhau, nên chúng đồng quy.