Câu 37 trang 121 Sách bài tập Hình học 11 Nâng cao

Đề bài

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, đường chéo AC = 4a, đường chéo BD = 2a; O là giao điểm của AC với BD và SO vuông góc với mặt phẳng (ABC), SO = h. Một mặt phẳng (α) đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng SC tại điểm C₁. Tìm hệ thức liên hệ giữa a và h để điểm C₁ nằm trong đoạn thẳng SC, C₁ khác S và khác C. Khi đó, tính diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mp(α).

Lời giải chi tiết

Vì \(\left( \alpha  \right) \bot SC\) và  \(A \in \left( \alpha  \right)\) nên \(A{C_1} \bot SC\). Mặt khác, gọi \({B_1}{D_1} = \left( \alpha  \right) \cap \left( {SBD} \right)\) thì B₁D₁ song song với BD và B₁D₁ qua \({O_1} = A{C_1} \cap SO\) (do \(B{\rm{D}} \bot SC,\left( \alpha  \right) \bot SC\) nên BD // (α)).

Vì SAC là tam giác cân tại S và \(A{C_1} \bot SC\) nên C₁ thuộc SC khi và chỉ khi \(\widehat {ASC} < {90^0}\) tức là \(\widehat {OSC} < {45^0}\). Xét tam giác vuông SOC, điều kiện \(\widehat {OSC} < {45^0}\) tương  đương với \(SO > OC = {{AC} \over 2} = 2a\). Vậy để C₁ thuộc SC, C₁ không trùng với C và S thì hệ thức liên hệ giữa h và a là h > 2a.

Dễ thấy thiết diện của S.ABCD khi cắt bởi (α) là tứ giác AB₁C₁D₁ có tính chất \(A{C_1} \bot {B_1}{D_1}\) . Do đó \({S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}A{C_1}.{B_1}{D_1}\).

Ta có:

\(\eqalign{  & A{C_1}.SC = SO.AC \Rightarrow A{C_1} = {{4{\rm{a}}h} \over {\sqrt {4{{\rm{a}}^2} + {h^2}} }};  \cr  & {{{B_1}{D_1}} \over {B{\rm{D}}}} = {{S{O_1}} \over {SO}}, \cr} \)

mặt khác

\(\eqalign{  & {{{O_1}O} \over {CO}} = {{AO} \over {SO}}  \cr  &  \Rightarrow {O_1}O = {{4{{\rm{a}}^2}} \over h}  \cr  &  \Rightarrow S{O_1} = {{{h^2} - 4{a^2}} \over h} \cr} \)

Từ đó \({{{B_1}{D_1}} \over {B{\rm{D}}}} = {{{h^2} - 4{{\rm{a}}^2}} \over {{h^2}}}\)

hay \({B_1}{D_1} = {{2{\rm{a}}\left( {{h^2} - 4{{\rm{a}}^2}} \right)} \over {{h^2}}}\)

Vậy

\(\eqalign{  & {S_{A{B_1}{C_1}{D_1}}} = {1 \over 2}.{{4{\rm{a}}h} \over {\sqrt {4{{\rm{a}}^2} + {h^2}} }}.{{2{\rm{a}}\left( {{h^2} - 4{{\rm{a}}^2}} \right)} \over {{h^2}}}  \cr  &  = {{4{{\rm{a}}^2}\left( {{h^2} - 4{{\rm{a}}^2}} \right)} \over {h\sqrt {4{{\rm{a}}^2} + {h^2}} }} \cr} \)