Cho dãy số \(\left( {{u_n}} \right)\) xác định bởi
\(\left\{ \matrix{
{u_1} = {1 \over 2} \hfill \cr
{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over {n + 1}}\,\,\,\,\, \hfill \cr} \right.\)
a
a
Chứng minh rằng \({u_n} > 0\) và
\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {1 \over 2}\) với mọi n
Lời giải chi tiết:
- Chứng minh \({u_n} > 0\) với mọi n bằng phương pháp quy nạp theo n:
+) Với n = 1 suy ra \({u_1} = {1 \over 2}>0\), (1) đúng
+) Giả sử (1) đúng với n = k ta có \(u_k>0\)
Ta chứng minh (1) đúng với n = k + 1
\({u_{k + 1}} = {{{u_k}} \over {k+1}} >0\) vì \(u_k>0\) và k+1>0
Suy ra \({u_n} > 0\) với mọi n (đpcm)
- Chứng minh \({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} \le {1 \over 2}\) với mọi n:
\({u_n} > 0\) với mọi n nên ta có:
\({{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}}=\frac{1}{n+1} \le {1 \over 2}\) vì \(n+1\ge 2\) với mọi \(n \ge 1\)
b
b
Từ đó suy ra \(\lim {u_n} = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(\eqalign{
& {u_2} \le {1 \over 2}{u_1} \cr
& {u_3} \le {1 \over 2}{u_2} \le {\left( {{1 \over 2}} \right)^2}{u_1},... \cr
& 0 \le {u_n} < {\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}}{u_1} = {1 \over 2}{\left( {{1 \over 2}} \right)^{n - 1}} \cr} \)\(=\left( {{1 \over 2}} \right)^n\)
\(\lim {\left( {{1\over 2}} \right)^n} = 0\)
Theo nguyên lý kẹp ta có \(\lim {u_n} = 0\)
Chủ đề 4: Chiến tranh bảo vệ Tổ quốc và chiến tranh giải phóng dân tộc trong lịch sử Việt Nam (trước Cách mạng tháng Tám năm 1945)
Chủ đề 6: Phối hợp kĩ thuật đập cầu thuận tay
Bài 8. Lợi dụng địa hình, địa vật
Tải 10 đề thi học kì 1 Sinh 11
Unit 9: Good citizens
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SGK Toán 11 - Cánh Diều
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán Lớp 11