Bài 1. Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng
Bài 2. Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song
Bài 3. Đường thẳng và mặt phẳng song song
Bài 4. Hai mặt phẳng song song
Bài 5. Phép chiếu song song. Hình biểu diễn của một hình không gian
Ôn tập chương II. Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian. Quan hệ song song
Đề bài
Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy là hình thoi \(ABCD\) cạnh \(a\), góc \(\widehat {BAD} = 60^0\) và \(SA = SB = SD = {{a\sqrt 3 } \over 2}\)
a) Tính khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) và độ dài cạnh \(SC\)
b) Chứng minh mặt phẳng \((SAC)\) vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\)
c) Chứng minh \(SB\) vuông góc với \(BC\)
d) Gọi \(\varphi\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\). Tính \(\tan\varphi\)
Phương pháp giải - Xem chi tiết
a) Gọi \(H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABD\) thì \(SH \bot \left( {ABCD} \right)\).
Sử dụng định lí Pitago tính \(SH\) và \(SC\).
b) Chứng minh mặt phẳng \((SAC)\) chứa 1 đường thẳng vuông góc với mặt phẳng \((ABCD)\).
c) Sử dụng định lí Pitago đảo chứng minh \(\Delta SBC\) vuông tại B.
d) Sử dụng phương pháp xác định góc giữa hai mặt phẳng.
Lời giải chi tiết
a) Kẻ \(SH⊥(ABCD)\)
Do \(SA = SB = SD\) suy ra \(HA = HB = HC\)
\(⇒ H\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \( ABD\).
Ta có: \(AB = AD = a\) và \(\widehat{ BAD} = 60^0\) nên \(\Delta ABD\) là tam giác đều cạnh \(a\) \( \Rightarrow AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2},\,\,AH = \dfrac{2}{3}AO = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3}\)
Trong tam giác vuông \(SAH\), ta có: \(SA = {{a\sqrt 3 } \over 2};AH = {{a\sqrt 3 } \over 3}\)
\( \Rightarrow SH = \sqrt {S{A^2} - A{H^2}} = \sqrt {\dfrac{{3{a^2}}}{4} - \dfrac{{{a^2}}}{3}} = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\)
\(CH = AC - AH = 2AO - AH \) \(= 2.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} - \dfrac{{a\sqrt 3 }}{3} = \dfrac{{2a\sqrt 3 }}{3}\)
Trong tam giác vuông \(SHC\): \(S{C^2} = S{H^2} + H{C^2}\Rightarrow SC = {{a\sqrt 7 } \over 2}\)
b) \(\left. \matrix{SH \bot (ABCD) \hfill \cr SH \subset (SAC) \hfill \cr} \right\} \Rightarrow (SAC) \bot (ABCD)\)
c) Ta có:
\(S{C^2} = \dfrac{{7{a^2}}}{4};\,\,B{C^2} = {a^2};\,\,S{B^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4}\)
\( \Rightarrow S{C^2} = B{C^2} + S{B^2}\)
\(\Rightarrow \Delta SBC\) vuông tại \(B\) \( \Rightarrow SB \bot BC.\)
Cách khác:
Ta có: \(SH \bot \left( {ABD} \right) \Rightarrow SH \bot AD\).
\(H\) là tâm tam giác \(ABD\) nên \(BH\bot AD\)
\(\left\{ \begin{array}{l}
BH \bot AD\\
SH \bot AD
\end{array} \right. \Rightarrow AD \bot \left( {SBH} \right)\)
Mà \(BC//AD\) nên \(BC \bot \left( {SBH} \right)\)
\( \Rightarrow BC \bot SB\)
d) Ta có:
\(\eqalign{
& \left. \matrix{
DB \bot AC \hfill \cr
SH \bot (ABCD) \Rightarrow SH \bot DB \hfill \cr} \right\} \cr &\Rightarrow DB \bot (SAC) \cr
& \Rightarrow \left\{ \matrix{
DB \bot {\rm{OS}} \hfill \cr
{\rm{DB}} \bot AC \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\left\{ \begin{array}{l}
\left( {SBD} \right) \cap \left( {ABCD} \right) = BD\\
SO \bot BD,AC \bot BD\\
SO \subset \left( {SBD} \right)\\
AC \subset \left( {ABCD} \right)
\end{array} \right.\)
Nên góc giữa (SBD) và (ABCD) bằng góc giữa SO và AC hay \(\widehat{ SOH}\) là góc giữa hai mặt phẳng \((SBD)\) và \((ABCD)\)
Ta có:
\( SH = \dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}\) và \(OH = \dfrac{1}{3}AO = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)
\(\Rightarrow \tan \varphi = \dfrac{{SH}}{{OH}} = \dfrac{{\dfrac{{a\sqrt {15} }}{6}}}{{\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}}} = \sqrt 5 \)
Chuyên đề 1: Phát triển kinh tế và sự biến đổi môi trường tự nhiên
Chủ đề 5. Một số cuộc cải cách lớn trong lịch sử Việt Nam (trước năm 1858)
Phần 2. Địa lí khu vực và quốc gia
Chương III. Các phương pháp gia công cơ khí
Review (Units 1 - 4)
SGK Toán Nâng cao Lớp 11
SBT Toán Lớp 11
SBT Toán Nâng cao Lớp 11
SGK Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SGK Toán 11 - Cánh Diều
SGK Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Chuyên đề học tập Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
Chuyên đề học tập Toán 11 - Cánh Diều
Chuyên đề học tập Toán 11 - Chân trời sáng tạo
SBT Toán 11 - Kết nối tri thức với cuộc sống
SBT Toán 11 - Cánh Diều
SBT Toán 11 - Chân trời sáng tạo
Tổng hợp Lí thuyết Toán 11
Bài giảng ôn luyện kiến thức môn Toán lớp 11