Bài 7 trang 46 SGK Giải tích 12

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị \((C)\) của hàm số: \(y = x^3+ 3x^2+ 1.\)

Phương pháp giải:

*Tập xác định

Tìm tập xác định của hàm số

*Sự biến thiên của hàm số

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm \(y’\)

+ Tại các điểm đó đạo hàm \(y’\) bằng 0 hoặc không xác định

+ Xét dấu đạo hàm \(y’\) và suy ra chiều biến thiên của hàm số.

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

- Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

*Đồ thị

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị,

- Nếu hàm số tuần hoàn với chu kì \(T\) thì chỉ cần khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị trên một chu kì, sau đó tịnh tiến đồ thị song song với trục \(Ox\)

- Nên tính thêm tọa độ một số điểm, đặc biệt là tọa độ các giao điểm của đồ thị với các trục  tọa độ.

- Nêu lưu ý đến tính chẵn , tính lẻ của hàm số và tính đối xứng của đồ thị để vẽ cho chính xác.

Lời giải chi tiết:

\(\displaystyle y = x^3+ 3x^2+ 1\)

Tập xác định: \(\displaystyle D =\mathbb R\)

* Sự biến thiên:

Ta có: \(\displaystyle y’= 3x^2+ 6x = 3x(x+ 2)\)

\(\displaystyle \begin{array}{l}
\Rightarrow y' = 0 \Leftrightarrow 3x\left( {x + 2} \right) = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x + 2 = 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = - 2
\end{array} \right..
\end{array}\)

- Hàm số đồng biến trên khoảng \(\displaystyle (-\infty;-2)\) và \(\displaystyle (0;+\infty)\), nghịch biến trên khoảng \(\displaystyle (-2;0)\)

- Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại \(\displaystyle x=-2\); \(\displaystyle y_{CĐ}=5\)

Hàm số đạt cực tiểu tại \(\displaystyle x=0\); \(\displaystyle y_{CT}=1\).

- Giới hạn: \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } y = - \infty\), \(\displaystyle \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty\)

- Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Đồ thị hàm số giao \(\displaystyle Oy\) tại \(\displaystyle (0;1)\)

Đồ thị hàm số nhận \(\displaystyle I(-1;3)\) làm tâm đối xứng.

b) Dựa vào đồ thị \((C)\), biện luận số nghiệm của phương trình sau theo \(m\): \({x^3} + 3{x^2} + 1 = \dfrac m 2.\)

Phương pháp giải:

Số nghiệm của phương trình \(f(x) = \dfrac{m}{2}\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y=f(x)\) và đường thẳng \(y=\dfrac{m}{2}.\) Dựa vào đồ thị để biện luận số nghiệm.

Lời giải chi tiết:

Số nghiệm của phương trình \(\displaystyle {x^3} + 3{x^2} + 1 = {m \over 2}\) chính là số giao điểm của \(\displaystyle (C)\) và đường thẳng \(\displaystyle (d)\): \(\displaystyle y = {m \over 2}\) 

Từ đồ thị ta thấy:

- Với \(\displaystyle {m \over 2} < 1 \Leftrightarrow m < 2\) : \((d)\) cắt \((C)\) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm

- Với \(\displaystyle {m \over 2} = 1  ⇔ m = 2\): \((d)\) tiếp xúc với \((C)\) tại 1 điểm và cắt \((C)\) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với \(\displaystyle 1 < {m \over 2} < 5 ⇔ 2<m<10\): \((d)\) cắt \((C)\) tại 3 điểm, phương trình có 3 nghiệm.

- Với  \(\displaystyle {m \over 2} = 5 \Leftrightarrow m = 10\): \((d)\) cắt \((C)\) tại 1 điểm và tiếp xúc với \((C)\) tại 1 điểm, phương trình có hai nghiệm.

- Với \(\displaystyle {m \over 2} > 5 \Leftrightarrow m > 10\): \((d)\) cắt \((C)\) tại 1 điểm, phương trình có 1 nghiệm.

Vậy, nếu \(m < 2\) hoặc \(m > 10\) thì phương trình có \(1\) nghiệm duy nhất.

+ Nếu \(m = 2\) hoặc \(m = 10\) thì phương trình có \(2\) nghiệm phân biệt.

+ Nếu \(2 < m < 10\) thì phương trình có \(3\) nghiệm phân biệt.

c) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm cực đại và điểm cực tiểu của đồ thị \((C).\)

Phương pháp giải:

Xác định tọa độ các điểm cực trị của đồ thị hàm số.

Viết pt đường thẳng \(AB\) đi qua 2 điểm \(A, B\) ta làm như sau:

+ Tìm tọa độ \(\overrightarrow {AB} \) suy ra tọa độ VTPT của đt.

+ Viết pt đường thẳng theo công thức \[a\left( {x - {x_0}} \right) + b\left( {y - {y_0}} \right) = 0\]

Lời giải chi tiết:

Ta thấy đồ thị hàm số có điểm cực đại là \(\displaystyle A(-2, 5)\), điểm cực tiểu là \(\displaystyle B(0, 1)\). 

Ta có: \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2; - 4} \right) \Rightarrow \overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {4;2} \right)\) là VTPT của \(AB.\)

\(AB\) đi qua \(A(-2;5)\) và nhận \(\overrightarrow {{n_{AB}}}  = \left( {4;2} \right)\) làm VTPT nên có pt:

\(4\left( {x + 2} \right) + 2\left( {y - 5} \right) = 0\)\( \Leftrightarrow 4x + 2y - 2 = 0\) \( \Leftrightarrow 2x + y - 1 = 0\)