Câu hỏi 11 - Mục Bài tập trang 89

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng tứ giác AECF là hình bình hành.

2. Phương pháp giải

Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình bình hành.

3. Lời giải chi tiết

• Do ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD.

Vì E là trung điểm của AB nên $EA=EB=\frac{1}{2}AB$.

     F là trung điểm của CD nên $FC=FD=\frac{1}{2}CD$.

Mà AB = CD (chứng minh trên).

Do đó EA = EB = FC = FD.

• Xét tứ giác AECF có EA = FC và EA // FC (do AB // CD)

Suy ra AECF là hình bình hành.

1. Nội dung câu hỏi

Tứ giác AEFD là hình gì? Vì sao?

2. Phương pháp giải

Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi.

3. Lời giải chi tiết

Xét tứ giác AEFD có AE = DF (chứng minh ở câu a) và AE // DF (do AB // CD)

suy ra AEFD là hình bình hành.

Mặt khác AB = 2AD nên $AD=AE=\frac{1}{2}AB$

Khi đó hình bình hành AEFD là hình thoi.

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng tứ giác EIFK là hình chữ nhật.

2. Phương pháp giải

Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình chữ nhật.

3. Lời giải chi tiết

Do AEFD là hình thoi (câu c) nên ta có:

• AF ⊥ DE suy ra $\widehat{EIF}=90°$.

• ED là đường phân giác của góc AEF nên $\widehat{DEF}=\frac{1}{2}\widehat{AEF}$.

Chứng minh tương tự câu c ta cũng có tứ giác BEFC là hình thoi

Suy ra:

• BF ⊥ CE suy ra $\widehat{EKF}=90°$

• EC là đường phân giác của góc BEF nên $\widehat{CEF}=\frac{1}{2}\widehat{BEF}$.

Ta có: $\widehat{IEK}=\widehat{DEF}+\widehat{CEF}=\frac{1}{2}\widehat{AEF}+\frac{1}{2}\widehat{BEF}=\frac{1}{2}(\widehat{AEF}+\widehat{BEF})$

Mà $\widehat{AEF}+\widehat{BEF}=180°$ (hai góc kề bù)

Suy ra $\widehat{IEK}=\widehat{DEF}+\widehat{CEF}=\frac{1}{2}.180°=90°$.

• Xét tứ giác EIFK có $\widehat{EIF}=90°;\widehat{EKF}=90°;\widehat{IEK}=90°$ nên là hình chữ nhật.

1. Nội dung câu hỏi

Tìm điều kiện của hình bình hành ABCD để tứ giác EIFK là hình vuông.

2. Phương pháp giải

Áp dụng tính chất của hình vuông.

3. Lời giải chi tiết

Theo câu c, tứ giác EIFK là hình chữ nhật

Do đó để tứ giác EIFK là hình vuông thì IE = IF   (1)

Xét hình thoi AEFD có hai đường chéo AF, DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường nên I là trung điểm của AF và DE.

Suy ra IA = IF và ID = IE (2)

Từ (1) và (2) suy ra IA = ID

Tam giác IAD có IA = ID nên là tam giác cân tại I

Lại có $\widehat{AID}=90°$ (do AF ⊥ DE) nên DIAD vuông cân tại I

Suy ra $\widehat{IAD}=45°$.

Mặt khác AEFD là hình thoi (câu c) nên ta có AF là đường phân giác của góc EAD

Suy ra $\widehat{EAD}=2\widehat{IAD}=2.45°=90°$ hay $\widehat{BAD}=90°$.

Vậy để tứ giác EIFK là hình vuông thì hình bình hành ABCD cần thêm điều kiện $\widehat{BAD}=90°$ hay ABCD là hình chữ nhật.