Câu hỏi 12 - Mục Bài tập trang 89

1. Nội dung câu hỏi

Tứ giác MNCD là hình gì?

2. Phương pháp giải

Áp dụng dấu hiệu nhận biết của hình thoi.

3. Lời giải chi tiết

 • Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD và AD // BC.

Ta có AB ⊥ CE và MN ⊥ CE nên AB // MN

Mà AB // CD nên MN // CD.

Xét tứ giác MNCD có MN // CD và MD // CN (do AD // BC)

Suy ra MNCD là hình bình hành.

• Ta có M là trung điểm của AD nên $MA=MD=\frac{1}{2}AD$ hay AD = 2MD

Mà AD = 2AB nên AB = MD

Lại có AB = CD (do ABCD là hình bình hành)

Do đó MD = CD.

• Hình bình hành MNCD có MD = CD nên MNCD là hình thoi.

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh tam giác EMC cân tại M.

2. Phương pháp giải

Chứng minh $EN=NC=NB=\frac{1}{2}BC$.

3. Lời giải chi tiết

• Do MNCD là hình thoi nên $MD=CD=NC=MN=\frac{1}{2}AD=\frac{1}{2}BC$ (do AD = BD).

Do $NC=\frac{1}{2}BC$ nên N là trung điểm của BC.

• Xét ∆EBC vuông tại E có EN là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền BC nên bằng nửa cạnh huyền BC

Suy ra $EN=NB=NC=\frac{1}{2}BC$.

• Do NE = NC nên N nằm trên đường trung trực của đoạn thẳng EC

Hay đường trung trực của EC đi qua N và vuông góc với EC.

Lai có NF ⊥ EC nên NF là đường trung trực của đoạn thẳng BC.

Suy ra F là trung điểm của EC hay FE = FC.

• Xét ∆EMF và ∆CMF có:

$\widehat{MFE}=\widehat{MFC}=90°$;

MF là cạnh chung;

FE = FC (chứng minh trên).

Do đó ∆EMF = ∆CMF (hai cạnh góc vuông).

Suy ra ME = MC (hai cạnh tương ứng)

Tam giác EMC có ME = MC nên là tam giác cân tại M.

1. Nội dung câu hỏi

Chứng minh rằng $\widehat{BAD}=2\widehat{AEM}$.

2. Phương pháp giải

Chứng minh $\widehat{AEM}=\widehat{EMN}=\widehat{NMC}=\widehat{MCD}=\frac{1}{2}\widehat{NCD}$.

3. Lời giải chi tiết

• Vì AB // MN (chứng minh ở câu a) nên $\widehat{AEM}=\widehat{EMF}$ (so le trong)

Ta có ∆EMF = ∆CMF (chứng minh ở câu b) nên $\widehat{EMF}=\widehat{CMF}$

Do đó $\widehat{AEM}=\widehat{CMF}(=\widehat{EMF})$

• Do MNCD là hình thoi nên MC là đường phân giác của góc DMN

Suy ra $\widehat{CMF}=\frac{1}{2}\widehat{DMN}$, nên $\widehat{AEM}=\widehat{CMF}=\frac{1}{2}\widehat{DMN}$ (1)

• Do DMNC là hình thoi nên $\widehat{DMN}=\widehat{DCN}$ (hai góc đối bằng nhau)

Do ABCD là hình bình hành nên $\widehat{BAD}=\widehat{DCB}$ (hai góc đối bằng nhau)

Do đó $\widehat{DMN}=\widehat{BAD}(=\widehat{DCN})$ (2)

Từ (1) và (2) ta có $\widehat{AEM}=\frac{1}{2}\widehat{BAD}$ hay $\widehat{BAD}=2\widehat{AEM}$