Câu hỏi 1.33 - Mục Bài tập trang 41

1. Nội dung câu hỏi

$y=2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1;$

2. Phương pháp giải

Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định.

3. Lời giải chi tiết

Tập xác định của hàm số là $D=\mathrm{ℝ}$
Vì $-1\le \cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 1\iff -2\le 2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)\le 2\iff -3\le 2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1<1$
$\Rightarrow$ Tập giá trị của hàm số $y=2\cos \left(2x-\frac{\pi }{3}\right)-1$ là $S=[-3 ; 1]$.

1. Nội dung câu hỏi

$y = \sin x + \cos x.$

2. Phương pháp giải

Tập giá trị của hàm số là tập min – max của hàm số trên tập xác định.

3. Lời giải chi tiết

Tập xác định của hàm số là $D=ℝ$

$\text{ Ta có: }\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x\right)$
$=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}\sin x+\sin \frac{\pi }{4}\cos x\right)$
$=\sqrt{2}\left(\sin x\cos \frac{\pi }{4}+\cos x\sin \frac{\pi }{4}\right)$
$=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$
Khi đó ta có hàm số $\mathrm{y}=\sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)$.
Lại có: $-1\le \sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le 1$ với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$
$\iff -\sqrt{2}\le \sqrt{2}\sin \left(x+\frac{\pi }{4}\right)\le \sqrt{2}$ với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$
$\iff -\sqrt{2}\le y\le \sqrt{2}$ với mọi $x\in \mathrm{ℝ}$
Vậy tập giá trị của hàm số $\mathrm{y}=\mathrm{sinx}+\mathrm{cosx}$ là $[-\sqrt{2};\sqrt{2}]$.