Câu hỏi 2.22 - Mục Bài tập trang 56

1. Nội dung câu hỏi

Khẳng định nào sau đây là sai?

A. Một dãy số tăng thì bị chặn dưới.

B. Một dãy số giảm thì bị chặn trên.

C. Một dãy số bị chặn thì phải tăng hoặc giảm.

D. Một dãy số không đổi thì bị chặn.

2. Phương án trả lời

Sử dụng tính chất của dãy số.

3. Lời giải chi tiết

+) Mỗi dãy số tăng đều bị chặn dưới bởi số hạng đầu $u_1$ vì $u_1<u_2<u_3<\dots$. , do đó đáp án A đúng.
+) Mỗi dãy số giảm đều bị chặn trên bởi số hạng đầu ${\mathrm{u}}_1$ vì ${\mathrm{u}}_1>{\mathrm{u}}_2>{\mathrm{u}}_3>\dots$. do đó đáp án B đúng.
+) Một dãy số bị chặn không nhất thiết phải là dãy số tăng hoặc giảm. Chẳng hạn ta xét dãy số ( ${\mathrm{u}}_n$) có số hạng tổng quát $u_n=(-1{)}^{n-1}\sin \frac{1}{n}$
Ta có nhận xét rằng dãy số này đan dấu nên nó không tăng, không giảm.
Mặt khác ta có: $\left|{\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right|=\left|(-1{)}^{\mathrm{n}-1}\sin \frac{1}{\mathrm{n}}\right|=\left|\sin \frac{1}{\mathrm{n}}\right|\le 1$, suy ra dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ bị chặn.
Vậy đáp án C sai.
+) Đáp án D đúng do dãy số $\left({\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\right)$ không đổi thì mọi số hạng luôn bằng nhau và luôn tồn tại $\mathrm{m},\mathrm{M}$ để $\mathrm{m}\le {\mathrm{u}}_{\mathrm{n}}\le \mathrm{M}$ với $\mathrm{mọin}\in {\mathrm{N}}^{*}$.

Vậy ta chọn đáp án C.