Câu hỏi 2.30 - Mục Bài tập trang 57

1. Nội dung câu hỏi

Tìm ba số, biết theo thứ tự chúng lập thành cấp số cộng và có tổng bằng 21, và nếu lần lượt cộng thêm các số 2; 3; 9 vào ba số đó thì được ba số lập thành một cấp số nhân.

2. Phương án trả lời

Sử dụng tính chất của cấp số cộng và cấp số nhân:
$u_k=\frac{u_{k-1}+u_{k+1}}{2}$
$u_k^2=u_{k-1}·u_{k+1}.$

3. Lời giải chi tiết

Gọi 3 số cần tìm lần lượt là: $u_{n-1},u_n,u_{n+1}$
Theo tính chất của cấp số cộng ta có: $u_{n-1}+u_{n+1}=2u_n$
Mà đề bài: $u_{n-1}+u_n+u_{n+1}=21$ suy ra $3u_n=21$
$\iff u_n=7$
$\iff \left\{\begin{array}{l}{u}_{n-1}=u_n-d=7-d\\ u_{n+1}=u_n+d=7+d\end{array}\right.$
Lần lượt cộng thêm các số $2,3,9$ vào 3 số ta được: $u_{n-1}+2,u_n+3,u_{n+1}+9$ hay $9-d, 10,16+d.$ 

Theo tính chất của cấp số nhân ta có:
$(9-d)(16+d)={10}^2$
$\iff d^2+7d-44=0$
$\iff \left[\begin{array}{l}d=-11\\ d=4\end{array}\right.$
Vậy 3 số cần tìm là: 18; 7; -4 hoặc 3; 7; 11.