Câu hỏi 3 - Mục Bài tập trang 57

1. Nội dung câu hỏi

Tính độ dài các đoạn thẳng $B D, D C$ và $D E$.

2. Phương pháp giải

- Sử dụng Tính chất đường phân giác trong tam giác:

Trong tam giác, đường phân giác của một góc chia cạnh đối diện thành hai đoạn thẳng tỉ lệ với hai cạnh kề đoạn ấy.

- Hệ quả của định lí Thales

Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại của tam giác thì tạo ra một tam giác mới tỉ lệ với tam giác ban đầu.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $BD+DC=BC\Rightarrow DC=BC-BD=25-BD$

Vì $A D$ là phân giác của góc $B A C$ nên theo tính chất đường phân giác ta có:

$$\begin{gathered} \frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}\iff \frac{BD}{25-BD}=\frac{15}{20}\iff 20.BD=15·(25-BD)\Rightarrow 20.BD=375-15.BD \\ \iff 20BD+15BD=375\iff 35BD=375\Rightarrow BD=\frac{375}{35}=\frac{75}{7} \\ \Rightarrow DC=25-\frac{75}{7}=\frac{100}{7} \end{gathered}$$

Vậy $B D=\frac{75}{7} \mathrm{~cm} ; D C=\frac{100}{7} \mathrm{~cm}$.

Vì DE // AB nên $\frac{DC}{BC}=\frac{DE}{AB}\Rightarrow \frac{\frac{100}{7}}{25}=\frac{DE}{15}\iff DE=\frac{100}{7}.15:25=\frac{60}{7}$
(hệ quả của định lí Thales).
Vậy $B D=\frac{75}{7} \mathrm{~cm} ; D C=\frac{100}{7} \mathrm{~cm} ; D E=\frac{60}{7} \mathrm{~cm}$.

1. Nội dung câu hỏi

 Chứng minh $A B C$ là tam giác vuông. Tính diện tích tam giác $A B C$.

2. Phương pháp giải

- Định lí Py - ta - go đảo

Nếu một tam giác có bình phương cạnh thứ nhất bằng tổng của bình phương cạnh thứ hai và cạnh thứ ba thì tam giác đó là tam giác vuông.

3. Lời giải chi tiết

Xét tam giác $A B C$ có:
$$
\begin{aligned}
& B C^2=25^2=625 ; A C^2=20^2=400 ; A B^2=15^2 =225 \\
& \Rightarrow B C^2=A C^2+A B^2
\end{aligned}
$$

Do đó, tam giác $A B C$ là tam giác vuông tại $A$.

1. Nội dung câu hỏi

Tính diện tích tam giác $A D B, A D E$ và $D C E$.

2. Phương pháp giải

- Diện tích tam giác
$S=\frac{1}{2} a . h$ với $a$ là độ dài đáy và $h$ là chiều cao.

3. Lời giải chi tiết

Diện tích tam giác $A B C$ là
$S_{ABC}=\frac{1}{2}AB·AC=\frac{1}{2}·15·20=150\left({ cm}^2\right).$

Xét tam giác $A D B$ và tam giác $A B C$ ta có:
$\frac{B D}{B C}=\frac{\frac{75}{7}}{25}=\frac{3}{7}$ và có chung chiều cao hạ từ đỉnh $A$. Do đó, diện tích tam giác $A D B$ bằng $\frac{3}{7}$ diện tích tam giác $A B C$.

Diện tích tam giác $A D B$ là:
$S_{ADB}=150·\frac{3}{7}=\frac{450}{7}\left({ cm}^2\right)\text{. }$

Diện tích tam giác $A C D$ là:
$$
\begin{aligned}
& S_{A C D}=S_{A B C}-S_{A D B}=150-\frac{450}{7}=\frac{600}{7} \\
& \text { vi } E D / / A B \Rightarrow \frac{C E}{A E}=\frac{C D}{B D}=\frac{\frac{100}{7}}{\frac{75}{100}}=\frac{4}{3}
\end{aligned}
$$

Xét tam giác $A D E$ và tam giác $D C E$ ta có:
$\frac{C E}{A E}=\frac{4}{3}$ và hai tam giác này có chung đường cao hạ từ $D$.

Do đó, $\frac{S_{A D E}}{S_{D C E}}=\frac{4}{3}$.
Diện tích tam giác $A D E$ là
$$
\begin{aligned}
& S_{A D E}=\frac{600}{7}:(3+4) \cdot 4=\frac{2400}{49}\left(\mathrm{~cm}^2\right) \\
& S_{D C E}=\frac{600}{7}:(3+4) \cdot 3=\frac{1800}{49}\left(\mathrm{~cm}^2\right) .
\end{aligned}
$$