Cho dãy số $(u_{n})$ với $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2}$ . Phát biểu nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng và bị chặn.
B. Dãy số giảm và bị chặn.
C. Dãy số giảm và bị chặn dưới.
D. Dãy số giảm và bị chặn trên.

2. Phương pháp giải

- Xét tính tăng giảm của dãy số:
Bước 1: Tìm $u_{n + 1}$ .
Bước 2: Xét hiệu $u_{n + 1} - u_{n}$ .
Bước 3: Kết luận:
- Nếu $u_{n + 1} - u_{n} > 0$ thì $u_{n + 1} > u_{n}, \forall n \in ℕ^{*}$ , vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng.
- Nếu $u_{n + 1} - u_{n} < 0$ thì $u_{n + 1} < u_{n}, \forall n \in ℕ^{*}$ , vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số giảm.
- Xét tính bị chặn của dãy số ta sử dụng tính chất của bất đẳng thức.

3. Lời giải chi tiết

- Ta có: $u_{n + 1} = \frac{(n + 1) + 1}{(n + 1) + 2} = \frac{n + 1 + 1}{n + 1 + 2} = \frac{n + 2}{n + 3}$
Xét hiệu:
$u_{n + 1} - u_{n} = \frac{n + 2}{n + 3} - \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{(n + 2)^{2} - (n + 1) (n + 3)}{(n + 3) (n + 2)} = \frac{(n^{2} + 4 n + 4) - (n^{2} + n + 3 n + 3)}{(n + 2) (n + 1)}$
$= \frac{n^{2} + 4 n + 4 - n^{2} - n - 3 n - 3}{(n + 2) (n + 1)} = \frac{1}{(n + 2) (n + 1)} > 0, \forall n \in ℕ^{*}$
Vậy $u_{n + 1} - u_{n} > 0 \Leftrightarrow u_{n + 1} > u_{n}$ . Vậy dãy số $(u_{n})$ là dãy số tăng.
- Ta có: $u_{n} = \frac{n + 1}{n + 2} = \frac{(n + 2) - 1}{n + 2} = 1 - \frac{1}{n + 2}$
$\forall n \in ℕ^{*}$ ta có:
$n + 2 > 0 \Leftrightarrow \frac{1}{n + 2} > 0 \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{n + 2} < 1 \Leftrightarrow u_{n} < 1$ . Vậy $(u_{n})$ bị chặn trên.
$n \geq 1 \Leftrightarrow n + 2 \geq 1 + 2 \Leftrightarrow n + 2 \geq 3 \Leftrightarrow \frac{1}{n + 2} \leq \frac{1}{3} \Leftrightarrow 1 - \frac{1}{n + 2} \geq 1 - \frac{1}{3} \Leftrightarrow u_{n} \geq \frac{2}{3}$
Vậy $(u_{n})$ bị chặn dưới.
Ta thấy dãy số $(u_{n})$ bị chặn trên và bị chặn dưới nên dãy số $(u_{n})$ bị chặn.

Vậy ta chọn đáp án A.

Fqa.vn

Báo cáo nội dung câu hỏi

Khác

Bình luận (0)

Bạn cần đăng nhập để bình luận

Xác nhận

Bạn chắc chắn muốn xóa nội dung này ?

Gợi ý sách

Xem thêm

Bạn có câu hỏi cần được giải đáp?

Bộ sách liên quan

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)

Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn

Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.

Liên kết · Hỏi đáp bài tập · Giải bài tập SGK · Cẩm nang · Đề ôn luyện

hỗ trợ · Điều khoản & chính sách · Sitemap · Liên hệ · Hướng dẫn sử dụng · Đánh giá và góp ý · Dịch vụ FQA media

Tải ứng dụng FQA

Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024