Câu hỏi 3.15 - Mục Bài tập trang 69

1. Nội dung câu hỏi

Một bảng xếp hạng đã tính điểm chuẩn hóa cho chỉ số nghiên cứu của một số trường đại học ở Việt Nam và thu được kết quả sau:

Xác định điểm ngưỡng để đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam.

2. Phương pháp giải

Xác định điểm ngưỡng thuộc tứ phân vị thứ ba
Để tính tứ phân vị thứ ba $Q_3$ của mẫu số liệu ghép nhóm, trước hết ta xác định nhóm chứa $Q_3$. Giả sử đó là nhóm thứ $p:\left[a_p;a_{p+1}\right)$. Khi đó, $Q_3=a_p+\frac{\frac{3n}{4}-\left(m_1+\dots +m_{p-1}\right)}{m_p}·\left(a_{p+1}-a_p\right)$.
Trong đó, n là cỡ mẫu, $m_p$ là tần số nhóm p, với p=1 ta quy ước $m_1+\dots +m_{p-1}=0$.

3. Lời giải chi tiết

Cỡ mẫu là n = 4 + 19 + 6 + 2 + 3 + 1 = 35.

Gọi x₁, x₂, ..., x₃₅ là điểm chuẩn hóa cho chỉ số nghiên cứu của các trường đại học và giả sử dãy này đã sắp xếp theo thứ tự tăng dần. 

Khi đó, trung vị của mẫu số liệu là M_e = x₁₈ và tứ phân vị thứ ba Q₃ của mẫu số liệu là trung vị của nửa số liệu bên phải M_e, đó là dãy gồm 17 số liệu x₁₉, x₂₀, ..., x₃₅, do đó Q₃ = x₂₇. Do x₂₇ thuộc nhóm [30; 40) nên nhóm này chứa Q₃. Do đó, p = 3; a₃ = 30; m₃ = 6; m₁ + m₂ = 4 + 19 = 23; a₄ – a₃ = 40 – 30 = 10 và ta có

$Q_3=30+\frac{\frac{3.35}{4}-23}{6}·10\approx 35,42$.

25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất là 25% giá trị nằm bên phải Q₃.

Vậy điểm ngưỡng để đưa ra danh sách 25% trường đại học có chỉ số nghiên cứu tốt nhất Việt Nam là những trường có điểm chuẩn hóa lớn hơn hoặc bằng 35,42.