Câu hỏi 4.39 - Mục Bài tập trang 102

1. Nội dung câu hỏi

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là hình bình hành. Gọi $M, N$ lần lượt là trung điểm của các cạnh $S B, S D ; K$ là giao điểm của mặt phẳng ( $A M N$ ) và đường thẳng $S C$. Tỉ số $\frac{S K}{S C}$ bằng:
A. $\frac{1}{2}$
B. $\frac{1}{3}$

C. $\frac{1}{4}$
D. $\frac{2}{3}$

2. Phương pháp giải

Áp dụng định lý Thales để tính tỉ số.

3. Lời giải chi tiết

Gọi O là giao điểm hai đường chéo hình bình hành ABCD. Trong mặt phẳng (SBD), SO cắt MN tại J.

Trong mặt phẳng (SAC), AJ cắt SC tại K.

Vì J thuộc MN nên J thuộc mặt phẳng (AMN) nên K thuộc AJ thì K thuộc mặt phẳng (AMN). Do đó K là giao điểm của mặt phẳng (AMN) và đường thẳng SC.

Tam giác SBD có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SB, SD nên MN là đường trung bình của tam giác SBD, suy ra MN // BD hay NJ // DO. Xét tam giác SDO có NJ // DO và N là trung điểm của SD nên suy ra J là trung điểm của SO.

Trong mặt phẳng (SAC), từ O kẻ OE song song với AK (E thuộc SC).

Xét tam giác SOE có JK // OE (do AK // OE), theo định lí Thalés ta có: $\frac{S K}{S E}=\frac{S J}{S O}=\frac{1}{2}$.

Do đó, $\mathrm{K}$ là trung điểm của SE.
Xét tam giác $\mathrm{CAK}$ có $\mathrm{OE} / / \mathrm{AK}$, theo định lí Thalés ta có: $\frac{C E}{C K}=\frac{C O}{C A}=\frac{1}{2}$. 

Do đó, E là trung điểm của $\mathrm{CK}$. 

Vậy $S K=K E=C E$, suy ra $\frac{S K}{S C}=\frac{1}{3}$.

Chọn B.