Câu hỏi 5 - Mục Bài tập trang 79

1. Nội dung câu hỏi

Chứng tỏ rằng nồng độ muối của nước trong hồ sau t phút kể từ khi bắt đầu bơm là $C(t)=\frac{30 t}{400+t}$ (gam/lít).

2. Phương pháp giải

Dựa vào dữ kiện của đề bài, biểu thị mối liên hệ giữa các đại lượng khối lượng muối, lượng nước trong hồ và nồng độ muối để viết biểu thức C(t).

3. Lời giải chi tiết

Lượng nước biển bơm vào hồ sau $t$ phút là: $15 t$ (lít).
Khối lượng muối có trong hồ sau $t$ phút là: $30.15 t$ (gam).
Sau $t$ phút kể từ khi bắt đầu bơm, lượng nước trong hồ là: $6000+15 t$ (lít).
Nồng độ muối tại thời điểm $t$ phút kể từ khi bắt đầu bơm là: $C(t)=\frac{30.15 t}{6000+15 t}=\frac{30.15 t}{15(400+t)}=\frac{30 t}{400+t}$ (gam/lít).

1. Nội dung câu hỏi

Nồng độ muối trong hồ như thế nào nếu $t \rightarrow+\infty$.

2. Phương pháp giải

Vận dụng phương pháp tính giới hạn của hàm số tại vô cực:

Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho lũy thừa bậc cao nhất của tử và mẫu.

Bước 2: Tính các giới hạn của tử và mẫu rồi áp dụng các quy tắc tính giới hạn để tính giới hạn.

3. Lời giải chi tiết

$\lim _{t \rightarrow+\infty} C(t)=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{30 t}{400+t}=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{30 t}{t\left(\frac{400}{t}+1\right)}=\lim _{t \rightarrow+\infty} \frac{30}{\frac{400}{t}+1}=\frac{30}{0+1}=30$ (gam/lít).
Vậy nồng độ muối trong hồ càng dần về 30 gam/lít, tức là nước trong hồ gần như là nước biển, khi $t \rightarrow+\infty$.