Câu hỏi 6 - Mục Bài tập trang 50

1. Nội dung câu hỏi

$\left(u_n\right)$ là dãy số tăng.

2. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm $u_{n+1}$.

Bước 2: Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$.

Bước 3:

- Để $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng thì ta tìm a sao cho $u_{n+1}-u_n>0,\forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$.

- Để $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm thì ta tìm a sao cho $u_{n+1}-u_n<0,\forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}$.

3. Lời giải chi tiết

Ta có: $u_{n+1}=\frac{(n+1)a+2}{(n+1)+1}=\frac{na+a+2}{n+1+1}=\frac{na+a+2}{n+2}$

Xét hiệu:

 $$\begin{gathered} u_{n+1}-u_n=\frac{na+a+2}{n+2}-\frac{na+2}{n+1}=\frac{(na+a+2)(n+1)-(na+2)(n+2)}{(n+2)(n+1)} \\ =\frac{\left(n^{2}a+na+2n+na+a+2\right)-\left(n^{2}a+2n+2na+4\right)}{(n+2)(n+1)} \\ =\frac{n^{2}a+na+2n+na+a+2-n^{2}a-2n-2na-4}{(n+2)(n+1)}=\frac{a-2}{(n+2)(n+1)} \end{gathered}$$

Để $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng thì:

$u_{n+1}-u_n>0,\forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}\iff \frac{a-2}{(n+2)(n+1)}>0\iff a-2>0\iff a>2$

1. Nội dung câu hỏi

$\left(u_n\right)$ là dãy số giảm.

2. Phương pháp giải

Bước 1: Tìm $u_{n+1}$.

Bước 2: Xét hiệu $u_{n+1}-u_n$.

Bước 3:

- Để $\left(u_n\right)$ là dãy số tăng thì ta tìm a sao cho $u_{n+1}-u_n>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

- Để $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm thì ta tìm a sao cho $u_{n+1}-u_n<0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

3. Lời giải chi tiết

Để $\left(u_n\right)$ là dãy số giảm thì:

$u_{n+1}-u_n<0,\forall n\in {\mathrm{\mathbb{N}}}^{*}\iff \frac{a-2}{(n+2)(n+1)}<0\iff a-2<0\iff a<2$